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Theorem lmcvg 18871
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmcvg.3  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
lmcvg.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcvg.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcvg.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
lmcvg  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Distinct variable groups:    j, k, F    j, J, k    P, j, k    ph, j, k    U, j, k    j, M   
j, Z, k
Allowed substitution hint:    M( k)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.6 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 lmcvg.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 lmrcl 18840 . . . . . . . 8  |-  ( F ( ~~> t `  J
) P  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
5 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
65toptopon 18543 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
74, 6sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
8 lmcvg.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 lmcvg.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
107, 8, 9lmbr2 18868 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )
1211simp3d 1002 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u )  ->  ( F `  k )  e.  u
)
1413ralimi 2796 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1514reximi 2828 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1615imim2i 14 . . . 4  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )
1716ralimi 2796 . . 3  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
1812, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
19 lmcvg.3 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
20 eleq2 2504 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  U ) )
21 eleq2 2504 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  U
) )
2221rexralbidv 2764 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) )
2320, 22imbi12d 320 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) ) )
2423rspcv 3074 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U ) ) )
251, 18, 19, 24syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^pm cpm 7220   CCcc 9285   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   Topctop 18503  TopOnctopon 18504   ~~> tclm 18835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-neg 9603  df-z 10652  df-uz 10867  df-top 18508  df-topon 18511  df-lm 18838
This theorem is referenced by:  lmmo  18989  1stccnp  19071  1stckgenlem  19131  iscmet3lem2  20808
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