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Theorem lmcvg 19890
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmcvg.3  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
lmcvg.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcvg.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcvg.6  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
Assertion
Ref Expression
lmcvg  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Distinct variable groups:    j, k, F    j, J, k    P, j, k    ph, j, k    U, j, k    j, M   
j, Z, k
Allowed substitution hint:    M( k)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.6 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
2 lmcvg.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
3 lmrcl 19859 . . . . . . . 8  |-  ( F ( ~~> t `  J
) P  ->  J  e.  Top )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
5 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
65toptopon 19561 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
74, 6sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
8 lmcvg.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
9 lmcvg.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
107, 8, 9lmbr2 19887 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
112, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )
1211simp3d 1010 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
13 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u )  ->  ( F `  k )  e.  u
)
1413ralimi 2850 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1514reximi 2925 . . . . 5  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u )  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )
1615imim2i 14 . . . 4  |-  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) )  ->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  u ) )
1716ralimi 2850 . . 3  |-  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) )  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
1812, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u ) )
19 lmcvg.3 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  U )
20 eleq2 2530 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( P  e.  u  <->  P  e.  U ) )
21 eleq2 2530 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( F `  k )  e.  U
) )
2221rexralbidv 2976 . . . 4  |-  ( u  =  U  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) )
2320, 22imbi12d 320 . . 3  |-  ( u  =  U  ->  (
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  <->  ( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  U ) ) )
2423rspcv 3206 . 2  |-  ( U  e.  J  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  u )  -> 
( P  e.  U  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U ) ) )
251, 18, 19, 24syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^pm cpm 7439   CCcc 9507   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   ~~> tclm 19854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-neg 9827  df-z 10886  df-uz 11107  df-top 19526  df-topon 19529  df-lm 19857
This theorem is referenced by:  lmmo  20008  1stccnp  20089  1stckgenlem  20180  iscmet3lem2  21857
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