Theorem lmconst 9212

Description: A constant sequence converges to its value.

Hypotheses

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D
lmbr2.3	|- N e. ZZ
lmbr2.4	|- Z = (ZZ>=` N)

Assertion

Ref	Expression
lmconst	|- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Proof of Theorem lmconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (j = N -> (j <_ k <-> N <_ k))
2	1	imbi1d 675	. . . . . . . 8 |- (j = N -> ((j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
3	2	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (j = N -> (A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x) <-> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
4	3	rcla4ev 2381	. . . . . 6 |- ((N e. Z /\ A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
5		lmbr2.3	. . . . . . 7 |- N e. ZZ
6		uzid 7596	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. (ZZ>=` N))
7		lmbr2.4	. . . . . . . 8 |- Z = (ZZ>=` N)
8	6, 7	syl6eleqr 1982	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> N e. Z)
9	5, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- N e. Z
10		fvconst2g 4820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. X /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
11	10	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> ((Z X. {P})` k) = P)
12	11	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = (PDP))
13		lmbr.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = dom dom D
14	13	met0 9092	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (PDP) = 0)
15	14	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (PDP) = 0)
16	12, 15	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
17	16	adantlr 429	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) = 0)
18		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> 0 < x)
19	17, 18	eqbrtrd 3357	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)
20	19	a1d 15	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) /\ k e. Z) -> (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
21	20	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> A.k e. Z (N <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
22	4, 9, 21	sylancr 526	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ 0 < x) -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))
23	22	ex 402	. . . 4 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
24	23	a1d 15	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (x e. RR -> (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
25	24	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x)))
26		fconstg 4604	. . . . 5 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->{P})
27		snssi 3129	. . . . 5 |- (P e. X -> {P} C_ X)
28		fss 4571	. . . . 5 |- (((Z X. {P}):Z-->{P} /\ {P} C_ X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
29	26, 27, 28	syl11anc 524	. . . 4 |- (P e. X -> (Z X. {P}):Z-->X)
30	29	adantl 424	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P}):Z-->X)
31	13, 5, 7	lmbrf2 9209	. . 3 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ (Z X. {P}):Z-->X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
32	30, 31	mpd3an3 1192	. 2 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> ((Z X. {P})(~~>m` D)P <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. Z A.k e. Z (j <_ k -> (((Z X. {P})` k)DP) < x))))
33	25, 32	mpbird 213	1 |- ((D e. Met /\ P e. X) -> (Z X. {P})(~~>m` D)P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  metelcls 9243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-z 7345  df-uz 7587  df-met 9070  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain