MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Unicode version

Theorem lmcnp 18867
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcnp.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
Assertion
Ref Expression
lmcnp  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
2 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnpf 18810 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  G : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
7 cnptop1 18805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
92toptopon 18497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 nnuz 10892 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1zzd 10673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
1310, 11, 12lmbr2 18822 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) ) )
146, 13mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) )
1514simp1d 995 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) )
16 uniexg 6376 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
178, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
18 cnex 9359 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
19 elpm2g 7225 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2017, 18, 19sylancl 657 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2115, 20mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) )
2221simpld 456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> U. J )
23 fco 5565 . . . . 5  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  F : dom  F --> U. J )  -> 
( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
245, 22, 23syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
25 fdm 5560 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2726feq2d 5544 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  <->  ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K ) )
2824, 27mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  ( G  o.  F ) --> U. K )
2921simprd 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3026, 29eqsstrd 3387 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  C_  CC )
31 cnptop2 18806 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
321, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
33 uniexg 6376 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
35 elpm2g 7225 . . . 4  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3634, 18, 35sylancl 657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3728, 30, 36mpbir2and 908 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. K  ^pm  CC ) )
3814simp2d 996 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
395, 38ffvelrnd 5841 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  P
)  e.  U. K
)
4014simp3d 997 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
4140adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
42 cnpimaex 18819 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
43423expb 1183 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u ) )
441, 43sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
45 r19.29 2855 . . . . . . 7  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
46 pm3.45 825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
4746imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u ) )
4847reximi 2821 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
4945, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
505ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G : U. J
--> U. K )
51 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G  Fn  U. J )
53 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  e.  J
)
54 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  J  ->  v  C_ 
U. J )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  C_  U. J
)
56 fnfvima 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J  /\  ( F `  k
)  e.  v )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) )
57563expia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J
)  ->  ( ( F `  k )  e.  v  ->  ( G `
 ( F `  k ) )  e.  ( G " v
) ) )
5852, 55, 57syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  ( G " v ) ) )
5922ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  F : dom  F --> U. J
)
60 fvco3 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : dom  F --> U. J  /\  k  e.  dom  F )  -> 
( ( G  o.  F ) `  k
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
6159, 60sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
6261eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  <->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) ) )
6358, 62sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  ( G " v ) ) )
64 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G "
v )  C_  u
)
6564sseld 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
6663, 65syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
67 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  F )
6826ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
6967, 68eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  ( G  o.  F
) )
7066, 69jctild 540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  (
( G  o.  F
) `  k )  e.  u ) ) )
7170expimpd 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  (
k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7271ralimdv 2793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7372reximdv 2825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7473expr 612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) ) )
7574com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) )
7675imp3a 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7776rexlimdva 2839 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7849, 77syl5 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7941, 44, 78mp2and 674 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) )
8079expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8180ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( ( G `  P )  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
823toptopon 18497 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8332, 82sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8483, 11, 12lmbr2 18822 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC )  /\  ( G `
 P )  e. 
U. K  /\  A. u  e.  K  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
8537, 39, 81, 84mpbir3and 1166 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   "cima 4839    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^pm cpm 7211   CCcc 9276   1c1 9279   NNcn 10318   ZZ>=cuz 10857   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    CnP ccnp 18788   ~~> tclm 18789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-z 10643  df-uz 10858  df-top 18462  df-topon 18465  df-cnp 18791  df-lm 18792
This theorem is referenced by:  lmcn  18868  1stccnp  19025
  Copyright terms: Public domain W3C validator