MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Unicode version
Theorem lmcnp 20262
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcnp.4 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
Assertion
Ref Expression
lmcnp |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
2 eqid 2428 . . . . . . 7 |- U. J = U. J
3 eqid 2428 . . . . . . 7 |- U. K = U. K
42, 3cnpf 20205 . . . . . 6 |- ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> G : U. J --> U. K )
51, 4syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> G : U. J --> U. K )
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
7 cnptop1 20200 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> J e. Top )
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. Top )
92toptopon 19890 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
108, 9sylib 199 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
11 nnuz 11145 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
12 1zzd 10919 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
1310, 11, 12lmbr2 20217 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) ) )
146, 13mpbid 213 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) ) )
1514simp1d 1017 . . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( U. J ^pm CC ) )
16 uniexg 6546 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
178, 16syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U. J e. _V )
18 cnex 9571 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
19 elpm2g 7443 . . . . . . . 8 |- ( ( U. J e. _V /\ CC e. _V ) -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2017, 18, 19sylancl 666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) ) )
2115, 20mpbid 213 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> U. J /\ dom F C_ CC ) )
2221simpld 460 . . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> U. J )
23 fco 5699 . . . . 5 |- ( ( G : U. J --> U. K /\ F : dom F --> U. J ) -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
245, 22, 23syl2anc 665 . . . 4 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom F --> U. K )
25 fdm 5693 . . . . . 6 |- ( ( G o. F ) : dom F --> U. K -> dom ( G o. F ) = dom F )
2624, 25syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> dom ( G o. F ) = dom F )
2726feq2d 5676 . . . 4 |- ( ph -> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K <-> ( G o. F ) : dom F --> U. K ) )
2824, 27mpbird 235 . . 3 |- ( ph -> ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K )
2921simprd 464 . . . 4 |- ( ph -> dom F C_ CC )
3026, 29eqsstrd 3441 . . 3 |- ( ph -> dom ( G o. F ) C_ CC )
31 cnptop2 20201 . . . . . 6 |- ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> K e. Top )
321, 31syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
33 uniexg 6546 . . . . 5 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
3432, 33syl 17 . . . 4 |- ( ph -> U. K e. _V )
35 elpm2g 7443 . . . 4 |- ( ( U. K e. _V /\ CC e. _V ) -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3634, 18, 35sylancl 666 . . 3 |- ( ph -> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) <-> ( ( G o. F ) : dom ( G o. F ) --> U. K /\ dom ( G o. F ) C_ CC ) ) )
3728, 30, 36mpbir2and 930 . 2 |- ( ph -> ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) )
3814simp2d 1018 . . 3 |- ( ph -> P e. U. J )
395, 38ffvelrnd 5982 . 2 |- ( ph -> ( G ` P ) e. U. K )
4014simp3d 1019 . . . . . 6 |- ( ph -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
4140adantr 466 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) )
42 cnpimaex 20214 . . . . . . 7 |- ( ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
43423expb 1206 . . . . . 6 |- ( ( G e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
441, 43sylan 473 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) )
45 r19.29 2902 . . . . . . 7 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
46 pm3.45 842 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) -> ( ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) ) )
4746imp 430 . . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
4847reximi 2832 . . . . . . 7 |- ( E. v e. J ( ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
4945, 48syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) )
505ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G : U. J --> U. K )
51 ffn 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G : U. J --> U. K -> G Fn U. J )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> G Fn U. J )
53 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v e. J )
54 elssuni 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. J -> v C_ U. J )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> v C_ U. J )
56 fnfvima 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) )
57563expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G Fn U. J /\ v C_ U. J ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
5852, 55, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
5922ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> F : dom F --> U. J )
60 fvco3 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : dom F --> U. J /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6159, 60sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( G o. F ) ` k ) = ( G ` ( F ` k ) ) )
6261eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) <-> ( G ` ( F ` k ) ) e. ( G " v ) ) )
6358, 62sylibrd 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) ) )
64 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( G " v ) C_ u )
6564sseld 3406 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( ( G o. F ) ` k ) e. ( G " v ) -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
6663, 65syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
67 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom F )
6826ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> dom ( G o. F ) = dom F )
6967, 68eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> k e. dom ( G o. F ) )
7066, 69jctild 545 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) /\ k e. dom F ) -> ( ( F ` k ) e. v -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7170expimpd 606 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7271ralimdv 2775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7372reximdv 2838 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ ( v e. J /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7473expr 618 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( G " v ) C_ u -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7574com23 81 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) -> ( ( G " v ) C_ u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) )
7675impd 432 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) /\ v e. J ) -> ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7776rexlimdva 2856 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( E. v e. J ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) /\ ( G " v ) C_ u ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7849, 77syl5 33 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> ( ( A. v e. J ( P e. v -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. v ) ) /\ E. v e. J ( P e. v /\ ( G " v ) C_ u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
7941, 44, 78mp2and 683 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. K /\ ( G ` P ) e. u ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) )
8079expr 618 . . 3 |- ( ( ph /\ u e. K ) -> ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
8180ralrimiva 2779 . 2 |- ( ph -> A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) )
823toptopon 19890 . . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
8332, 82sylib 199 . . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
8483, 11, 12lmbr2 20217 . 2 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) <-> ( ( G o. F ) e. ( U. K ^pm CC ) /\ ( G ` P ) e. U. K /\ A. u e. K ( ( G ` P ) e. u -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom ( G o. F ) /\ ( ( G o. F ) ` k ) e. u ) ) ) ) )
8537, 39, 81, 84mpbir3and 1188 1 |- ( ph -> ( G o. F ) ( ~~> t ` K ) ( G ` P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022   C_ wss 3379   U.cuni 4162   class class class wbr 4366   dom cdm 4796   "cima 4799   o. ccom 4800   Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ^pm cpm 7428   CCcc 9488   1c1 9491   NNcn 10560   ZZ>=cuz 11110   Topctop 19859  TopOnctopon 19860   CnP ccnp 20183   ~~> tclm 20184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-z 10889  df-uz 11111  df-top 19863  df-topon 19865  df-cnp 20186  df-lm 20187
This theorem is referenced by:  lmcn  20263  1stccnp  20419
  Copyright terms: Public domain W3C validator