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Theorem lmcnp 19599
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcnp.4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
Assertion
Ref Expression
lmcnp  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables  j 
k  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P ) )
2 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnpf 19542 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  G : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
7 cnptop1 19537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  J  e.  Top )
81, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
92toptopon 19229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
11 nnuz 11117 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
12 1zzd 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
1310, 11, 12lmbr2 19554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e. 
U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) ) )
146, 13mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC )  /\  P  e.  U. J  /\  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) ) )
1514simp1d 1008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) )
16 uniexg 6581 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
178, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. J  e.  _V )
18 cnex 9573 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
19 elpm2g 7435 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( U. J  ^pm  CC ) 
<->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) ) )
2115, 20mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : dom  F --> U. J  /\  dom  F 
C_  CC ) )
2221simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> U. J )
23 fco 5741 . . . . 5  |-  ( ( G : U. J --> U. K  /\  F : dom  F --> U. J )  -> 
( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
245, 22, 23syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  F --> U. K )
25 fdm 5735 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
2726feq2d 5718 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  <->  ( G  o.  F ) : dom  F --> U. K ) )
2824, 27mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) : dom  ( G  o.  F ) --> U. K )
2921simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  C_  CC )
3026, 29eqsstrd 3538 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( G  o.  F )  C_  CC )
31 cnptop2 19538 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  K  e.  Top )
321, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
33 uniexg 6581 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. K  e.  _V )
35 elpm2g 7435 . . . 4  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3634, 18, 35sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC ) 
<->  ( ( G  o.  F ) : dom  ( G  o.  F
) --> U. K  /\  dom  ( G  o.  F
)  C_  CC )
) )
3728, 30, 36mpbir2and 920 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  e.  ( U. K  ^pm  CC ) )
3814simp2d 1009 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  U. J
)
395, 38ffvelrnd 6022 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  P
)  e.  U. K
)
4014simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) ) )
42 cnpimaex 19551 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
43423expb 1197 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `
 P )  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u ) )
441, 43sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v
)  C_  u )
)
45 r19.29 2997 . . . . . . 7  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
46 pm3.45 832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( G " v )  C_  u )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) ) )
4746imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u ) )
4847reximi 2932 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  J  ( ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
4945, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )
505ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G : U. J
--> U. K )
51 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  G  Fn  U. J )
53 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  e.  J
)
54 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  J  ->  v  C_ 
U. J )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  v  C_  U. J
)
56 fnfvima 6138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J  /\  ( F `  k
)  e.  v )  ->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) )
57563expia 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  Fn  U. J  /\  v  C_  U. J
)  ->  ( ( F `  k )  e.  v  ->  ( G `
 ( F `  k ) )  e.  ( G " v
) ) )
5852, 55, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( G `  ( F `  k
) )  e.  ( G " v ) ) )
5922ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  ->  F : dom  F --> U. J
)
60 fvco3 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : dom  F --> U. J  /\  k  e.  dom  F )  -> 
( ( G  o.  F ) `  k
)  =  ( G `
 ( F `  k ) ) )
6159, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  =  ( G `  ( F `
 k ) ) )
6261eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  <->  ( G `  ( F `  k ) )  e.  ( G
" v ) ) )
6358, 62sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  ( G " v ) ) )
64 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G "
v )  C_  u
)
6564sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( ( G  o.  F ) `
 k )  e.  ( G " v
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
6663, 65syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) )
67 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  F )
6826ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  dom  ( G  o.  F )  =  dom  F )
6967, 68eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  k  e.  dom  ( G  o.  F
) )
7066, 69jctild 543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P
)  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G " v )  C_  u ) )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `
 k )  e.  v  ->  ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  (
( G  o.  F
) `  k )  e.  u ) ) )
7170expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  (
k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7271ralimdv 2874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7372reximdv 2937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  ( v  e.  J  /\  ( G
" v )  C_  u ) )  -> 
( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7473expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) ) )
7574com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  ->  ( ( G " v )  C_  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) )
7675impd 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  /\  v  e.  J
)  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G " v ) 
C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7776rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( E. v  e.  J  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v )  /\  ( G
" v )  C_  u )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  ( G  o.  F
)  /\  ( ( G  o.  F ) `  k )  e.  u
) ) )
7849, 77syl5 32 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  -> 
( ( A. v  e.  J  ( P  e.  v  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  v ) )  /\  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( G " v ) 
C_  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
7941, 44, 78mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  K  /\  ( G `  P )  e.  u ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) )
8079expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  K )  ->  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
8180ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  K  ( ( G `  P )  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) )
823toptopon 19229 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8332, 82sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
8483, 11, 12lmbr2 19554 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  F ) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P )  <->  ( ( G  o.  F )  e.  ( U. K  ^pm  CC )  /\  ( G `
 P )  e. 
U. K  /\  A. u  e.  K  (
( G `  P
)  e.  u  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  ( G  o.  F )  /\  ( ( G  o.  F ) `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
8537, 39, 81, 84mpbir3and 1179 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
) ( ~~> t `  K ) ( G `
 P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^pm cpm 7421   CCcc 9490   1c1 9493   NNcn 10536   ZZ>=cuz 11082   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    CnP ccnp 19520   ~~> tclm 19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-z 10865  df-uz 11083  df-top 19194  df-topon 19197  df-cnp 19523  df-lm 19524
This theorem is referenced by:  lmcn  19600  1stccnp  19757
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