Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lmcn2 20741
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z
txlm.m
txlm.j TopOn
txlm.k TopOn
txlm.f
txlm.g
lmcn2.fl
lmcn2.gl
lmcn2.o
lmcn2.h
Assertion
Ref Expression
lmcn2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7
21ffvelrnda 6037 . . . . . 6
3 txlm.g . . . . . . 7
43ffvelrnda 6037 . . . . . 6
5 opelxpi 4871 . . . . . 6
62, 4, 5syl2anc 673 . . . . 5
7 eqidd 2472 . . . . 5
8 txlm.j . . . . . . . 8 TopOn
9 txlm.k . . . . . . . 8 TopOn
10 txtopon 20683 . . . . . . . 8 TopOn TopOn TopOn
118, 9, 10syl2anc 673 . . . . . . 7 TopOn
12 lmcn2.o . . . . . . . . 9
13 cntop2 20334 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8
15 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1615toptopon 20025 . . . . . . . 8 TopOn
1714, 16sylib 201 . . . . . . 7 TopOn
18 cnf2 20342 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1911, 17, 12, 18syl3anc 1292 . . . . . 6
2019feqmptd 5932 . . . . 5
21 fveq2 5879 . . . . . 6
22 df-ov 6311 . . . . . 6
2321, 22syl6eqr 2523 . . . . 5
246, 7, 20, 23fmptco 6072 . . . 4
25 lmcn2.h . . . 4
2624, 25syl6eqr 2523 . . 3
27 lmcn2.fl . . . . 5
28 lmcn2.gl . . . . 5
29 txlm.z . . . . . 6
30 txlm.m . . . . . 6
31 eqid 2471 . . . . . 6
3229, 30, 8, 9, 1, 3, 31txlm 20740 . . . . 5
3327, 28, 32mpbi2and 935 . . . 4
3433, 12lmcn 20398 . . 3
3526, 34eqbrtrrd 4418 . 2
36 df-ov 6311 . 2
3735, 36syl6breqr 4436 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cz 10961  cuz 11182  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317  clm 20319   ctx 20652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-z 10962  df-uz 11183  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-lm 20322  df-tx 20654 This theorem is referenced by:  hlimadd  26927
 Copyright terms: Public domain W3C validator