MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmclimf Structured version   Unicode version

Theorem lmclimf 20956
Description: Relate a limit on the metric space of complex numbers to our complex number limit notation. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
lmclim.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
lmclimf  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)

Proof of Theorem lmclimf
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F : Z --> CC )
2 fdm 5674 . . . 4  |-  ( F : Z --> CC  ->  dom 
F  =  Z )
3 eqimss2 3520 . . . 4  |-  ( dom 
F  =  Z  ->  Z  C_  dom  F )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  Z  C_  dom  F )
5 lmclim.2 . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
6 lmclim.3 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
75, 6lmclim 20955 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  Z  C_  dom  F )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
84, 7syldan 470 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
9 uzssz 10995 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
10 zsscn 10769 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
119, 10sstri 3476 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
126, 11eqsstri 3497 . . . 4  |-  Z  C_  CC
13 cnex 9478 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
14 elpm2r 7343 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
1513, 13, 14mpanl12 682 . . . 4  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  Z  C_  CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
CC ) )
161, 12, 15sylancl 662 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  CC )
)
1716biantrurd 508 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F  ~~>  P  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  F  ~~>  P ) ) )
188, 17bitr4d 256 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  F : Z --> CC )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F  ~~>  P )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^pm cpm 7328   CCcc 9395   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976    ~~> cli 13084   TopOpenctopn 14483  ℂfldccnfld 17953   ~~> tclm 18972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-fz 11559  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-rest 14484  df-topn 14485  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-lm 18975
This theorem is referenced by:  lmlim  26545  climreeq  29957
  Copyright terms: Public domain W3C validator