Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Structured version   Unicode version

Theorem lmclim2 30417
Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lmclim2.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmclim2.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmclim2.5  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
lmclim2.6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
lmclim2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, G    x, J    x, X    ph, x    x, Y

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmclim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 20922 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 nnuz 11036 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1zzd 10812 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7 eqidd 2383 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
8 lmclim2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
91, 4, 5, 6, 7, 8lmmbrf 21786 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
10 lmclim2.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
11 nnex 10458 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1211mptex 6044 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2466 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
15 fveq2 5774 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1615oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) D Y )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
17 ovex 6224 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k ) D Y )  e. 
_V
1816, 10, 17fvmpt 5857 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
1918adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( ( F `  k ) D Y ) )
202adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
218ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
22 lmclim2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
2322adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  Y  e.  X )
24 metcl 20920 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D Y )  e.  RR )
2520, 21, 23, 24syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  RR )
2625recnd 9533 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  CC )
275, 6, 14, 19, 26clim0c 13332 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x ) )
28 eluznn 11071 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
29 metge0 20933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  k ) D Y ) )
3020, 21, 23, 29syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( F `  k ) D Y ) )
3125, 30absidd 13256 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  =  ( ( F `  k
) D Y ) )
3231breq1d 4377 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3328, 32sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3433anassrs 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) D Y ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D Y )  <  x
) )
3534ralbidva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x ) )
3635rexbidva 2890 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
3736ralbidv 2821 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
3822biantrurd 506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
3927, 37, 383bitrrd 280 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x )  <-> 
G  ~~>  0 ) )
409, 39bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   abscabs 13069    ~~> cli 13309   *Metcxmt 18516   Metcme 18517   MetOpencmopn 18521   ~~> tclm 19813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-lm 19816
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator