Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Structured version   Unicode version

Theorem lmclim2 28803
Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
lmclim2.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
lmclim2.4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
lmclim2.5  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
lmclim2.6  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
Assertion
Ref Expression
lmclim2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, G    x, J    x, X    ph, x    x, Y

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 lmclim2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 metxmet 20042 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 nnuz 11008 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6 1z 10788 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 eqidd 2455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  =  ( F `  k
) )
9 lmclim2.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
101, 4, 5, 7, 8, 9lmmbrf 20906 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
11 lmclim2.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )
12 nnex 10440 . . . . . . 7  |-  NN  e.  _V
1312mptex 6058 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  |->  ( ( F `  x ) D Y ) )  e.  _V
1411, 13eqeltri 2538 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  _V )
16 fveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1716oveq1d 6216 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
) D Y )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
18 ovex 6226 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k ) D Y )  e. 
_V
1917, 11, 18fvmpt 5884 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( ( F `
 k ) D Y ) )
2019adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( ( F `  k ) D Y ) )
212adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
229ffvelrnda 5953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  X )
23 lmclim2.6 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
2423adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  Y  e.  X )
25 metcl 20040 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  (
( F `  k
) D Y )  e.  RR )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  RR )
2726recnd 9524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) D Y )  e.  CC )
285, 7, 15, 20, 27clim0c 13104 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  ~~>  0  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x ) )
295uztrn2 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
30 metge0 20053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  Y  e.  X )  ->  0  <_  ( ( F `  k ) D Y ) )
3121, 22, 24, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( ( F `  k ) D Y ) )
3226, 31absidd 13028 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  =  ( ( F `  k
) D Y ) )
3332breq1d 4411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3429, 33sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  ( ( F `  k ) D Y )  <  x
) )
3534anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 k ) D Y ) )  < 
x  <->  ( ( F `
 k ) D Y )  <  x
) )
3635ralbidva 2844 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x ) )
3736rexbidva 2865 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( F `  k
) D Y ) )  <  x  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
3837ralbidv 2846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( F `  k ) D Y ) )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) )
3923biantrurd 508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k ) D Y )  < 
x  <->  ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x ) ) )
4028, 38, 393bitrrd 280 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y  e.  X  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k ) D Y )  <  x )  <-> 
G  ~~>  0 ) )
4110, 40bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) Y  <->  G  ~~>  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    < clt 9530    <_ cle 9531   NNcn 10434   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973   RR+crp 11103   abscabs 12842    ~~> cli 13081   *Metcxmt 17927   Metcme 17928   MetOpencmopn 17932   ~~> tclm 18963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-lm 18966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator