Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Structured version   Unicode version

Theorem lmclim2 28803
 Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2
lmclim2.3
lmclim2.4
lmclim2.5
lmclim2.6
Assertion
Ref Expression
lmclim2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3
2 lmclim2.2 . . . 4
3 metxmet 20042 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 nnuz 11008 . . 3
6 1z 10788 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 eqidd 2455 . . 3
9 lmclim2.3 . . 3
101, 4, 5, 7, 8, 9lmmbrf 20906 . 2
11 lmclim2.5 . . . . . 6
12 nnex 10440 . . . . . . 7
1312mptex 6058 . . . . . 6
1411, 13eqeltri 2538 . . . . 5
1514a1i 11 . . . 4
16 fveq2 5800 . . . . . . 7
1716oveq1d 6216 . . . . . 6
18 ovex 6226 . . . . . 6
1917, 11, 18fvmpt 5884 . . . . 5
2019adantl 466 . . . 4
212adantr 465 . . . . . 6
229ffvelrnda 5953 . . . . . 6
23 lmclim2.6 . . . . . . 7
2423adantr 465 . . . . . 6
25 metcl 20040 . . . . . 6
2621, 22, 24, 25syl3anc 1219 . . . . 5
2726recnd 9524 . . . 4
285, 7, 15, 20, 27clim0c 13104 . . 3
295uztrn2 10990 . . . . . . . 8
30 metge0 20053 . . . . . . . . . . 11
3121, 22, 24, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10
3226, 31absidd 13028 . . . . . . . . 9
3332breq1d 4411 . . . . . . . 8
3429, 33sylan2 474 . . . . . . 7
3534anassrs 648 . . . . . 6
3635ralbidva 2844 . . . . 5
3736rexbidva 2865 . . . 4
3837ralbidv 2846 . . 3
3923biantrurd 508 . . 3
4028, 38, 393bitrrd 280 . 2
4110, 40bitrd 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  wrex 2800  cvv 3078   class class class wbr 4401   cmpt 4459  wf 5523  cfv 5527  (class class class)co 6201  cr 9393  cc0 9394  c1 9395   clt 9530   cle 9531  cn 10434  cz 10758  cuz 10973  crp 11103  cabs 12842   cli 13081  cxmt 17927  cme 17928  cmopn 17932  clm 18963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-lm 18966 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator