MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Unicode version

Theorem lmcld 20095
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmff.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcls.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcls.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
lmcld.8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
lmcld  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, M    P, k    S, k    ph, k    k, X    k, Z

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 lmff.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 lmff.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 lmcls.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
5 lmcls.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
6 lmcld.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
87cldss 19820 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
96, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
10 toponuni 19718 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
112, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
129, 11sseqtr4d 3478 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 20094 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) )
14 cldcls 19833 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
156, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S )
1613, 15eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   U.cuni 4190   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126  TopOnctopon 19685   Clsdccld 19807   clsccl 19809   ~~> tclm 20018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-top 19689  df-topon 19692  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-lm 20021
This theorem is referenced by:  1stckgen  20345  lmle  22030
  Copyright terms: Public domain W3C validator