MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcld Structured version   Unicode version

Theorem lmcld 19567
Description: Any convergent sequence of points in a closed subset of a topological space converges to a point in the set. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmff.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmff.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmff.4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmcls.5  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
lmcls.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
lmcld.8  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
lmcld  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, M    P, k    S, k    ph, k    k, X    k, Z

Proof of Theorem lmcld
StepHypRef Expression
1 lmff.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 lmff.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 lmff.4 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 lmcls.5 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) P )
5 lmcls.7 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  S )
6 lmcld.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
87cldss 19293 . . . . 5  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
96, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
10 toponuni 19192 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
112, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
129, 11sseqtr4d 3541 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
131, 2, 3, 4, 5, 12lmcls 19566 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( cls `  J ) `
 S ) )
14 cldcls 19306 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  =  S )
156, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( cls `  J
) `  S )  =  S )
1613, 15eleqtrd 2557 1  |-  ( ph  ->  P  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078  TopOnctopon 19159   Clsdccld 19280   clsccl 19282   ~~> tclm 19490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-top 19163  df-topon 19166  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-lm 19493
This theorem is referenced by:  1stckgen  19787  lmle  21472
  Copyright terms: Public domain W3C validator