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Theorem lmbrf 18867
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 18866 presupposes that  F is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
lmbrf.6  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
lmbrf.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
Assertion
Ref Expression
lmbrf  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    A( u, j, k)    M( u, k)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmbr2.4 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
3 lmbr2.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
41, 2, 3lmbr2 18866 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
5 3anass 969 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
62uztrn2 10881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
87eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  A  e.  u ) )
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Z --> X )
10 fdm 5566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : Z --> X  ->  dom  F  =  Z )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Z )
1211eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  dom  F  <-> 
k  e.  Z ) )
1312biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  k  e.  dom  F )
1413biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( F `  k
)  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
158, 14bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
166, 15sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1716anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  Z )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A  e.  u  <->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1817ralbidva 2734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1918rexbidva 2735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2120ralbidv 2738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2221anbi2d 703 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
)  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) )
23 toponmax 18536 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
25 cnex 9366 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2624, 25jctir 538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )
)
27 uzssz 10883 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
28 zsscn 10657 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  CC
2927, 28sstri 3368 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  CC
302, 29eqsstri 3389 . . . . . . 7  |-  Z  C_  CC
319, 30jctir 538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )
32 elpm2r 7233 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  J  /\  CC  e.  _V )  /\  ( F : Z --> X  /\  Z  C_  CC ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
3326, 31, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
3433biantrurd 508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) ) ) )
3522, 34bitr2d 254 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) ) )  <-> 
( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) A  e.  u ) ) ) )
365, 35syl5bb 257 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
374, 36bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) A  e.  u )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   _Vcvv 2975    C_ wss 3331   class class class wbr 4295   dom cdm 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    ^pm cpm 7218   CCcc 9283   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864  TopOnctopon 18502   ~~> tclm 18833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-er 7104  df-pm 7220  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-neg 9601  df-z 10650  df-uz 10865  df-top 18506  df-topon 18509  df-lm 18836
This theorem is referenced by:  lmconst  18868  lmss  18905  1stcelcls  19068  txlm  19224  lmflf  19581  lmxrge0  26385
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