Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbr2 Structured version   Unicode version

Theorem lmbr2 19626
 Description: Express the binary relation "sequence converges to point " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 TopOn
lmbr2.4
lmbr2.5
Assertion
Ref Expression
lmbr2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 TopOn
21lmbr 19625 . 2
3 uzf 11088 . . . . . . . 8
4 ffn 5717 . . . . . . . 8
5 reseq2 5254 . . . . . . . . . 10
6 id 22 . . . . . . . . . 10
75, 6feq12d 5706 . . . . . . . . 9
87rexrn 6014 . . . . . . . 8
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . 7
10 pmfun 7436 . . . . . . . . . . 11
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
12 ffvresb 6043 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9
1413rexbidv 2952 . . . . . . . 8
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10
1615adantr 465 . . . . . . . . 9
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10
1817rexuz3 13155 . . . . . . . . 9
1916, 18syl 16 . . . . . . . 8
2014, 19bitr4d 256 . . . . . . 7
219, 20syl5bb 257 . . . . . 6
2221imbi2d 316 . . . . 5
2322ralbidv 2880 . . . 4
2423pm5.32da 641 . . 3
25 df-3an 974 . . 3
26 df-3an 974 . . 3
2724, 25, 263bitr4g 288 . 2
282, 27bitrd 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  wral 2791  wrex 2792  cpw 3993   class class class wbr 4433   cdm 4985   crn 4986   cres 4987   wfun 5568   wfn 5569  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277   cpm 7419  cc 9488  cz 10865  cuz 11085  TopOnctopon 19262  clm 19593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-neg 9808  df-z 10866  df-uz 11086  df-top 19266  df-topon 19269  df-lm 19596 This theorem is referenced by:  lmbrf  19627  lmcvg  19629  lmres  19667  lmcls  19669  lmcnp  19671
 Copyright terms: Public domain W3C validator