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Theorem lmbr2 18965
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
lmbr2.4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
lmbr2.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmbr2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, u, F    j, J, k, u    ph, j, k, u   
j, Z, k, u   
j, M    P, j,
k, u    j, X, k, u
Allowed substitution hints:    M( u, k)

Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
21lmbr 18964 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u ) ) ) )
3 uzf 10951 . . . . . . . 8  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4 ffn 5643 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ  ->  ZZ>=  Fn  ZZ )
5 reseq2 5189 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( F  |`  z )  =  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) )
6 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  z  =  ( ZZ>= `  j )
)
75, 6feq12d 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ( F  |`  z ) : z --> u  <->  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> u ) )
87rexrn 5930 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>=  Fn  ZZ  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> u ) )
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u  <->  E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j )
) : ( ZZ>= `  j ) --> u )
10 pmfun 7318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  ->  Fun  F )
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  Fun  F )
12 ffvresb 5959 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F  |`  ( ZZ>= `  j
) ) : (
ZZ>= `  j ) --> u  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  (
( F  |`  ( ZZ>=
`  j ) ) : ( ZZ>= `  j
) --> u  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
1413rexbidv 2816 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> u 
<->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  M  e.  ZZ )
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1817rexuz3 12924 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) )
2014, 19bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( E. j  e.  ZZ  ( F  |`  ( ZZ>= `  j ) ) : ( ZZ>= `  j ) --> u 
<->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) )
219, 20syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u  <->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )
2221imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  (
( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u )  <-> 
( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2322ralbidv 2815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
) )  ->  ( A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) )
2423pm5.32da 641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) ) )
25 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u ) ) )
26 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u
) ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  u ) ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 288 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. z  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  z ) : z --> u ) )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
282, 27bitrd 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   E.wrex 2793   ~Pcpw 3944   class class class wbr 4376   dom cdm 4924   ran crn 4925    |` cres 4926   Fun wfun 5496    Fn wfn 5497   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ^pm cpm 7301   CCcc 9367   ZZcz 10733   ZZ>=cuz 10948  TopOnctopon 18601   ~~> tclm 18932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-er 7187  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-neg 9685  df-z 10734  df-uz 10949  df-top 18605  df-topon 18608  df-lm 18935
This theorem is referenced by:  lmbrf  18966  lmcvg  18968  lmres  19006  lmcls  19008  lmcnp  19010
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