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Theorem lmbr2 19626
Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmbr2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u
Allowed substitution hints:   M( u, k)
Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
21lmbr 19625 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) ) )
3 uzf 11088 . . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4 ffn 5717 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
5 reseq2 5254 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
6 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> z = ( ZZ>= ` j ) )
75, 6feq12d 5706 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` z ) : z --> u <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
87rexrn 6014 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . 7 |- ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u )
10 pmfun 7436 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> Fun F )
12 ffvresb 6043 . . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1413rexbidv 2952 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> M e. ZZ )
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
1817rexuz3 13155 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2014, 19bitr4d 256 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
219, 20syl5bb 257 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2221imbi2d 316 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2322ralbidv 2880 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2423pm5.32da 641 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
25 df-3an 974 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) )
26 df-3an 974 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 288 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
282, 27bitrd 253 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433   dom cdm 4985   ran crn 4986   |` cres 4987   Fun wfun 5568   Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   ^pm cpm 7419   CCcc 9488   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085  TopOnctopon 19262   ~~> tclm 19593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-neg 9808  df-z 10866  df-uz 11086  df-top 19266  df-topon 19269  df-lm 19596
This theorem is referenced by:  lmbrf  19627  lmcvg  19629  lmres  19667  lmcls  19669  lmcnp  19671
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