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Theorem lmbr 17276
Description: Express the binary relation "sequence  F converges to point  P " in a topological space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition  F  C_  ( CC 
X.  X ) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 17247. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
lmbr.2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
lmbr  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, u, F    u, J, y    ph, u    u, P    u, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    P( y)

Proof of Theorem lmbr
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 lmfval 17250 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ~~> t `  J )  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ~~> t `  J
)  =  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) } )
43breqd 4183 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P
) )
5 reseq1 5099 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  |`  y )  =  ( F  |`  y
) )
65feq1d 5539 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
( f  |`  y
) : y --> u  <-> 
( F  |`  y
) : y --> u ) )
76rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u  <->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )
87imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
98ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
10 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  u  <->  P  e.  u ) )
1110imbi1d 309 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <-> 
( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1211ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
139, 12sylan9bb 681 . . . 4  |-  ( ( f  =  F  /\  x  =  P )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u )  <->  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
14 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( (
f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X )  /\  A. u  e.  J  (
x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) )
1514opabbii 4232 . . . 4  |-  { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }  =  { <. f ,  x >.  |  (
( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y ) : y --> u ) ) }
1613, 15brab2ga 4910 . . 3  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X
)  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
17 df-3an 938 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) )  <->  ( ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X )  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
1816, 17bitr4i 244 . 2  |-  ( F { <. f ,  x >.  |  ( f  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( f  |`  y
) : y --> u ) ) } P  <->  ( F  e.  ( X 
^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) )
194, 18syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( F ( ~~> t `  J ) P  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  P  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( P  e.  u  ->  E. y  e.  ran  ZZ>= ( F  |`  y ) : y --> u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   {copab 4225   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944   ZZ>=cuz 10444  TopOnctopon 16914   ~~> tclm 17244
This theorem is referenced by:  lmbr2  17277  lmfpm  17313  lmcl  17315  lmff  17319  lmmbr  19164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-top 16918  df-topon 16921  df-lm 17247
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