Theorem lmbr 9206

Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition F C_ (CC X. X) allows us to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 9200.

Hypothesis

Ref	Expression
lmbr.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
lmbr	|- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))

Distinct variable groups:   j,k,x,F   D,j,k,x   P,j,k,x

Proof of Theorem lmbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 448	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. A) /\ F(~~>m` D)P) -> D e. Met)
2		brrelex 4028	. . . . . 6 |- ((Rel (~~>m` D) /\ F(~~>m` D)P) -> F e. _V)
3		lmrel 9205	. . . . . 6 |- (D e. Met -> Rel (~~>m` D))
4	2, 3	sylan 497	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ F(~~>m` D)P) -> F e. _V)
5	4	anim1i 361	. . . 4 |- (((D e. Met /\ F(~~>m` D)P) /\ P e. A) -> (F e. _V /\ P e. A))
6	5	an1rs 547	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. A) /\ F(~~>m` D)P) -> (F e. _V /\ P e. A))
7	1, 6	jca 310	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. A) /\ F(~~>m` D)P) -> (D e. Met /\ (F e. _V /\ P e. A)))
8		simpl 346	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ (P e. A /\ F C_ (CC X. X))) -> D e. Met)
9		ssexg 3457	. . . . . . . 8 |- ((F C_ (CC X. X) /\ (CC X. X) e. _V) -> F e. _V)
10		xpexg 4095	. . . . . . . . 9 |- ((CC e. _V /\ X e. _V) -> (CC X. X) e. _V)
11		axcnex 6419	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
12		dmexg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
13		dmexg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
14	12, 13	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
15		lmbr.1	. . . . . . . . . 10 |- X = dom dom D
16	14, 15	syl5eqel 1975	. . . . . . . . 9 |- (D e. Met -> X e. _V)
17	10, 11, 16	sylancr 526	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> (CC X. X) e. _V)
18	9, 17	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((F C_ (CC X. X) /\ D e. Met) -> F e. _V)
19	18	ancoms 484	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ F C_ (CC X. X)) -> F e. _V)
20	19	adantrl 430	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ (P e. A /\ F C_ (CC X. X))) -> F e. _V)
21		simprl 450	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ (P e. A /\ F C_ (CC X. X))) -> P e. A)
22	8, 20, 21	jca32 312	. . . 4 |- ((D e. Met /\ (P e. A /\ F C_ (CC X. X))) -> (D e. Met /\ (F e. _V /\ P e. A)))
23	22	anassrs 489	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. A) /\ F C_ (CC X. X)) -> (D e. Met /\ (F e. _V /\ P e. A)))
24	23	3ad2antr1 1041	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. A) /\ (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))) -> (D e. Met /\ (F e. _V /\ P e. A)))
25	15	lmfval 9203	. . . 4 |- (D e. Met -> (~~>m` D) = {<.z, w>. | (z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))))})
26	25	breqd 3349	. . 3 |- (D e. Met -> (F(~~>m` D)P <-> F{<.z, w>. | (z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))))}P))
27		sseq1 2637	. . . . 5 |- (z = F -> (z C_ (CC X. X) <-> F C_ (CC X. X)))
28		fveq1 4680	. . . . . . . . . . 11 |- (z = F -> (z` k) = (F` k))
29	28	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (z = F -> ((z` k) e. X <-> (F` k) e. X))
30	28	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (z = F -> ((z` k)Dw) = ((F` k)Dw))
31	30	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- (z = F -> (((z` k)Dw) < x <-> ((F` k)Dw) < x))
32	29, 31	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (z = F -> (((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x) <-> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)))
33	32	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (z = F -> ((j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x))))
34	33	rexralbidv 2142	. . . . . . 7 |- (z = F -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x))))
35	34	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (z = F -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)))))
36	35	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (z = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)))))
37	27, 36	3anbi13d 1170	. . . 4 |- (z = F -> ((z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x)))) <-> (F C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x))))))
38		eleq1 1957	. . . . 5 |- (w = P -> (w e. X <-> P e. X))
39		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (w = P -> ((F` k)Dw) = ((F` k)DP))
40	39	breq1d 3348	. . . . . . . . . 10 |- (w = P -> (((F` k)Dw) < x <-> ((F` k)DP) < x))
41	40	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (w = P -> (((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x) <-> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))
42	41	imbi2d 674	. . . . . . . 8 |- (w = P -> ((j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)) <-> (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))
43	42	rexralbidv 2142	. . . . . . 7 |- (w = P -> (E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)) <-> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))
44	43	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (w = P -> ((0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x))) <-> (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))))
45	44	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (w = P -> (A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x))) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x)))))
46	38, 45	3anbi23d 1171	. . . 4 |- (w = P -> ((F C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)Dw) < x)))) <-> (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
47		eqid 1884	. . . 4 |- {<.z, w>. | (z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))))} = {<.z, w>. | (z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))))}
48	37, 46, 47	brabg 3568	. . 3 |- ((F e. _V /\ P e. A) -> (F{<.z, w>. | (z C_ (CC X. X) /\ w e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((z` k) e. X /\ ((z` k)Dw) < x))))}P <-> (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
49	26, 48	sylan9bb 599	. 2 |- ((D e. Met /\ (F e. _V /\ P e. A)) -> (F(~~>m` D)P <-> (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))
50	7, 24, 49	pm5.21nd 744	1 |- ((D e. Met /\ P e. A) -> (F(~~>m` D)P <-> (F C_ (CC X. X) /\ P e. X /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((F` k) e. X /\ ((F` k)DP) < x))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  Metcme 9066  ~~>mclm 9197

This theorem is referenced by:  lmbr2 9207  lmfss 9226  lmcl 9227  lmclim 9241  lmcau 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-qs 5323  df-ni 6152  df-nq 6190  df-np 6238  df-nr 6319  df-c 6392  df-lm 9200

Copyright terms: Public domain