Theorem llyrest 20512

Description: An open subspace of a locally A space is also locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyrest	|- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Proof of Theorem llyrest

Dummy variables v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 20499	. . 3 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2		resttop 20188	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
3	1, 2	sylan 474	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4		restopn2 20205	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
5	1, 4	sylan 474	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6		simp1l 1033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Locally A )
7		simp2l 1035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8		simp3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9		llyi 20501	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
11		simprl 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. J )
12		simprr1 1057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
13		simpl2r 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
14	12, 13	sstrd 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ B )
15	6, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Top )
16	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		simpl1r 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> B e. J )
18		restopn2 20205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
20	11, 14, 19	mpbir2and 934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( J ↾t B ) )
21		selpw 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
22	12, 21	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
23	20, 22	elind 3620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) )
24		simprr2 1058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. v )
25		restabs 20193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ v C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
26	16, 14, 17, 25	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
27		simprr3 1059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t v ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A )
29	23, 24, 28	jca32 538	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
30	29	ex 436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) ) )
31	30	reximdv2 2860	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
32	10, 31	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
33	32	3expa 1209	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
34	33	ralrimiva 2804	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
35	34	ex 436	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
36	5, 35	sylbid 219	. . 3 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
37	36	ralrimiv 2802	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
38		islly 20495	. 2 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
39	3, 37, 38	sylanbrc 671	1 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   i^i cin 3405   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953  (class class class)co 6295   ↾_t crest 15331   Topctop 19929  Locally clly 20491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-fin 7578  df-fi 7930  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-lly 20493

This theorem is referenced by:  loclly  20514  llyidm  20515