Theorem llyrest 19089

Description: An open subspace of a locally A space is also locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyrest	|- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Proof of Theorem llyrest

Dummy variables v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 19076	. . 3 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2		resttop 18764	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
3	1, 2	sylan 471	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4		restopn2 18781	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
5	1, 4	sylan 471	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6		simp1l 1012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Locally A )
7		simp2l 1014	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8		simp3 990	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9		llyi 19078	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
11		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. J )
12		simprr1 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
13		simpl2r 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
14	12, 13	sstrd 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ B )
15	6, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Top )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		simpl1r 1040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> B e. J )
18		restopn2 18781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
20	11, 14, 19	mpbir2and 913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( J ↾t B ) )
21		selpw 3867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
22	12, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
23	20, 22	elind 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) )
24		simprr2 1037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. v )
25		restabs 18769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ v C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
26	16, 14, 17, 25	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
27		simprr3 1038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t v ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A )
29	23, 24, 28	jca32 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
30	29	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) ) )
31	30	reximdv2 2825	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
32	10, 31	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
33	32	3expa 1187	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
34	33	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
35	34	ex 434	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
36	5, 35	sylbid 215	. . 3 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
37	36	ralrimiv 2798	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
38		islly 19072	. 2 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
39	3, 37, 38	sylanbrc 664	1 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   i^i cin 3327   C_ wss 3328   ~Pcpw 3860  (class class class)co 6091   ↾_t crest 14359   Topctop 18498  Locally clly 19068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-lly 19070

This theorem is referenced by:  loclly  19091  llyidm  19092