Theorem llyrest 19745

Description: An open subspace of a locally A space is also locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyrest	|- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Proof of Theorem llyrest

Dummy variables v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 19732	. . 3 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2		resttop 19420	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
3	1, 2	sylan 471	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4		restopn2 19437	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
5	1, 4	sylan 471	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6		simp1l 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Locally A )
7		simp2l 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8		simp3 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9		llyi 19734	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
11		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. J )
12		simprr1 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
13		simpl2r 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
14	12, 13	sstrd 3507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ B )
15	6, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Top )
16	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		simpl1r 1043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> B e. J )
18		restopn2 19437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
20	11, 14, 19	mpbir2and 915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( J ↾t B ) )
21		selpw 4010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
22	12, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
23	20, 22	elind 3681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) )
24		simprr2 1040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. v )
25		restabs 19425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ v C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
26	16, 14, 17, 25	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
27		simprr3 1041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t v ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2548	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A )
29	23, 24, 28	jca32 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
30	29	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) ) )
31	30	reximdv2 2927	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
32	10, 31	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
33	32	3expa 1191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
34	33	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
35	34	ex 434	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
36	5, 35	sylbid 215	. . 3 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
37	36	ralrimiv 2869	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
38		islly 19728	. 2 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
39	3, 37, 38	sylanbrc 664	1 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3468   C_ wss 3469   ~Pcpw 4003  (class class class)co 6275   ↾_t crest 14665   Topctop 19154  Locally clly 19724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-lly 19726

This theorem is referenced by:  loclly  19747  llyidm  19748