Theorem llyrest 20155

Description: An open subspace of a locally A space is also locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyrest	|- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Proof of Theorem llyrest

Dummy variables v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 20142	. . 3 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2		resttop 19831	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
3	1, 2	sylan 469	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4		restopn2 19848	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
5	1, 4	sylan 469	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6		simp1l 1018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Locally A )
7		simp2l 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8		simp3 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9		llyi 20144	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
11		simprl 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. J )
12		simprr1 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
13		simpl2r 1048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
14	12, 13	sstrd 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ B )
15	6, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Top )
16	15	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		simpl1r 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> B e. J )
18		restopn2 19848	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
20	11, 14, 19	mpbir2and 920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( J ↾t B ) )
21		selpw 4006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
22	12, 21	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
23	20, 22	elind 3674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) )
24		simprr2 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. v )
25		restabs 19836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ v C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
26	16, 14, 17, 25	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
27		simprr3 1044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t v ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A )
29	23, 24, 28	jca32 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
30	29	ex 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) ) )
31	30	reximdv2 2925	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
32	10, 31	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
33	32	3expa 1194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
34	33	ralrimiva 2868	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
35	34	ex 432	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
36	5, 35	sylbid 215	. . 3 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
37	36	ralrimiv 2866	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
38		islly 20138	. 2 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
39	3, 37, 38	sylanbrc 662	1 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999  (class class class)co 6270   ↾_t crest 14913   Topctop 19564  Locally clly 20134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-lly 20136

This theorem is referenced by:  loclly  20157  llyidm  20158