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Theorem llyrest 20577
Description: An open subspace of a locally  A space is also locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyrest  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )

Proof of Theorem llyrest
Dummy variables  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 20564 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 20253 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
31, 2sylan 479 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
4 restopn2 20270 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
51, 4sylan 479 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
6 simp1l 1054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e. Locally  A )
7 simp2l 1056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  e.  J )
8 simp3 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
9 llyi 20566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
11 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  J
)
12 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
13 simpl2r 1084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  B
)
1412, 13sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  B
)
156, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e.  Top )
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
17 simpl1r 1082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  B  e.  J
)
18 restopn2 20270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
2011, 14, 19mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Jt  B ) )
21 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
2212, 21sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
2320, 22elind 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) )
24 simprr2 1079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  v )
25 restabs 20258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  C_  B  /\  B  e.  J )  ->  (
( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
2616, 14, 17, 25syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
27 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  v )  e.  A )
2826, 27eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
)
2923, 24, 28jca32 544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) )
3029ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) ) )
3130reximdv2 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. v  e.  J  (
v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3210, 31mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
33323expa 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  (
( Jt  B )t  v )  e.  A ) )
3433ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
3534ex 441 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
365, 35sylbid 223 . . 3  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3736ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
38 islly 20560 . 2  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
393, 37, 38sylanbrc 677 1  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  Locally clly 20556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-lly 20558
This theorem is referenced by:  loclly  20579  llyidm  20580
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