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Theorem llyrest 19745
Description: An open subspace of a locally  A space is also locally  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyrest  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )

Proof of Theorem llyrest
Dummy variables  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 19732 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 19420 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e.  Top )
4 restopn2 19437 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
51, 4sylan 471 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  <->  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) ) )
6 simp1l 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e. Locally  A )
7 simp2l 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  x  e.  J )
8 simp3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
9 llyi 19734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  J  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
11 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  J
)
12 simprr1 1039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  x
)
13 simpl2r 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  x  C_  B
)
1412, 13sstrd 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  C_  B
)
156, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  J  e.  Top )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  J  e.  Top )
17 simpl1r 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  B  e.  J
)
18 restopn2 19437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  J )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( Jt  B )  <->  ( v  e.  J  /\  v  C_  B ) ) )
2011, 14, 19mpbir2and 915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Jt  B ) )
21 selpw 4010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ~P x  <->  v  C_  x )
2212, 21sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ~P x )
2320, 22elind 3681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) )
24 simprr2 1040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  y  e.  v )
25 restabs 19425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  C_  B  /\  B  e.  J )  ->  (
( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
2616, 14, 17, 25syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  =  ( Jt  v ) )
27 simprr3 1041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( Jt  v )  e.  A )
2826, 27eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
)
2923, 24, 28jca32 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x )  /\  (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) ) )  ->  ( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( (
v  e.  J  /\  ( v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )  -> 
( v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A ) ) ) )
3130reximdv2 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. v  e.  J  (
v  C_  x  /\  y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3210, 31mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  /\  y  e.  x
)  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
33323expa 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J
)  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  /\  y  e.  x )  ->  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  (
( Jt  B )t  v )  e.  A ) )
3433ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  /\  ( x  e.  J  /\  x  C_  B ) )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
3534ex 434 . . . 4  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( ( x  e.  J  /\  x  C_  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
365, 35sylbid 215 . . 3  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( x  e.  ( Jt  B )  ->  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
3736ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) )
38 islly 19728 . 2  |-  ( ( Jt  B )  e. Locally  A  <->  ( ( Jt  B )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  ( Jt  B ) A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( Jt  B )  i^i  ~P x ) ( y  e.  v  /\  ( ( Jt  B )t  v )  e.  A
) ) )
393, 37, 38sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  B  e.  J )  ->  ( Jt  B )  e. Locally  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3468    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003  (class class class)co 6275   ↾t crest 14665   Topctop 19154  Locally clly 19724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-lly 19726
This theorem is referenced by:  loclly  19747  llyidm  19748
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