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Theorem llyi 20100
Description: The property of a locally  A topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
llyi  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
Distinct variable groups:    u, A    u, P    u, U    u, J

Proof of Theorem llyi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islly 20094 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
21simprbi 464 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
3 pweq 4018 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U  ->  ~P x  =  ~P U
)
43ineq2d 3696 . . . . . 6  |-  ( x  =  U  ->  ( J  i^i  ~P x )  =  ( J  i^i  ~P U ) )
54rexeqdv 3061 . . . . 5  |-  ( x  =  U  ->  ( E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
65raleqbi1dv 3062 . . . 4  |-  ( x  =  U  ->  ( A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
76rspccva 3209 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  /\  U  e.  J )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
82, 7sylan 471 . 2  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J )  ->  A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
9 eleq1 2529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  P  ->  (
y  e.  u  <->  P  e.  u ) )
109anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( y  =  P  ->  (
( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
1110anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( y  =  P  ->  (
( u  e.  ( J  i^i  ~P U
)  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
12 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  J  /\  u  C_  U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( u  e.  J  /\  ( u 
C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
13 elin 3683 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  <->  ( u  e.  J  /\  u  e.  ~P U ) )
14 selpw 4022 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ~P U  <->  u  C_  U
)
1514anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  J  /\  u  e.  ~P U
)  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  U ) )
1613, 15bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  <->  ( u  e.  J  /\  u  C_  U ) )
1716anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( ( u  e.  J  /\  u  C_  U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
18 3anass 977 . . . . . . 7  |-  ( ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  ( u  C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) ) )
1918anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  J  /\  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  J  /\  (
u  C_  U  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
2012, 17, 193bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( J  i^i  ~P U )  /\  ( P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )  <->  ( u  e.  J  /\  ( u 
C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2111, 20syl6bb 261 . . . 4  |-  ( y  =  P  ->  (
( u  e.  ( J  i^i  ~P U
)  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )  <->  ( u  e.  J  /\  (
u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
2221rexbidv2 2964 . . 3  |-  ( y  =  P  ->  ( E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  <->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2322rspccva 3209 . 2  |-  ( ( A. y  e.  U  E. u  e.  ( J  i^i  ~P U ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
248, 23stoic3 1610 1  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  U  e.  J  /\  P  e.  U )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  U  /\  P  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015  (class class class)co 6296   ↾t crest 14837   Topctop 19520  Locally clly 20090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-lly 20092
This theorem is referenced by:  llynlly  20103  islly2  20110  llyrest  20111  llyidm  20114  nllyidm  20115  lly1stc  20122  dislly  20123  txlly  20262  cvmlift2lem10  28932
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