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Theorem lly1stc 19763
Description: First-countability is a local property (unlike second-countability). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
lly1stc  |- Locally  1stc  =  1stc

Proof of Theorem lly1stc
Dummy variables  j 
a  n  t  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 19739 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  Top )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e. Locally  1stc )
31adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e.  Top )
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  U. j  =  U. j
54topopn 19182 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Top  ->  U. j  e.  j )
63, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  U. j  e.  j
)
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  x  e.  U. j
)
8 llyi 19741 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  U. j  e.  j  /\  x  e.  U. j
)  ->  E. u  e.  j  ( u  C_ 
U. j  /\  x  e.  u  /\  (
jt  u )  e.  1stc ) )
92, 6, 7, 8syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. u  e.  j 
( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )
10 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  (
jt  u )  e.  1stc )
11 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  u )
121ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  j  e.  Top )
13 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
1413ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  C_ 
U. j )
154restuni 19429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  C_  U. j )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
1711, 16eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  U. ( jt  u ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
jt  u )  =  U. ( jt  u )
19181stcclb 19711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( jt  u )  e.  1stc  /\  x  e.  U. (
jt  u ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
2010, 17, 19syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
21 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  ~P ( jt  u )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
2322sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  ( jt  u ) )
2412adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  j  e.  Top )
25 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  u  e.  j )
26 restopn2 19444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2827simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  C_  u )
2923, 28syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  C_  u )
30 df-ss 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n 
C_  u  <->  ( n  i^i  u )  =  n )
3129, 30sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  =  n )
3227simprbda 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  e.  j )
3323, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  j )
3431, 33eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  e.  j )
35 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  n  ->  (
a  i^i  u )  =  ( n  i^i  u ) )
3635cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  =  ( n  e.  t  |->  ( n  i^i  u ) )
3734, 36fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j )
38 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  C_  j
)
41 vex 3116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
4241elpw2 4611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j 
<->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  C_  j )
4340, 42sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j )
44 simprrl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
45 1stcrestlem 19719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
4712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  j  e.  Top )
48 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  u  e.  j )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  u  e.  j )
50 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  j )
51 elrestr 14680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j  /\  z  e.  j )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( jt  u ) )
5247, 49, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u ) )
53 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
55 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
5611ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  u )
5755, 56elind 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  ( z  i^i  u
) )
58 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( z  i^i  u
) ) )
59 sseq2 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
n  C_  v  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
6059anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <-> 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
6160rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
6258, 61imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  <->  ( x  e.  ( z  i^i  u
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) ) ) )
6362rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u )  ->  ( A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  u )  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) ) )
6452, 54, 57, 63syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) )
6511ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  x  e.  u )
66 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( n  i^i  u )  <->  ( x  e.  n  /\  x  e.  u ) )
6766simplbi2com 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  u  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
6865, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
6929biantrud 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  ( n  C_  z  /\  n  C_  u ) ) )
70 ssin 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  C_  z  /\  n  C_  u )  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
)
7169, 70syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
72 ssinss1 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n 
C_  z  ->  (
n  i^i  u )  C_  z )
7371, 72syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  ( z  i^i  u )  ->  (
n  i^i  u )  C_  z ) )
7468, 73anim12d 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
7574reximdva 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
76 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  n  e. 
_V
7776inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  i^i  u )  e. 
_V
7877rgenw 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. n  e.  t  ( n  i^i  u )  e.  _V
79 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( n  i^i  u
) ) )
80 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
w  C_  z  <->  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
8179, 80anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
8236, 81rexrnmpt 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  t  (
n  i^i  u )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
8378, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ran  (
a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
8475, 83syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8584adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8764, 86mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8887expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  z  e.  j )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8988ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
90 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
)
91 rexeq 3059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
9291imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9392ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9490, 93anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
9594rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  e. 
~P j  /\  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9643, 46, 89, 95syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9720, 96rexlimddv 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
98973adantr1 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9998ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  ->  ( ( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
10099rexlimdva 2955 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
( E. u  e.  j  ( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1019, 100mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
102101ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1034is1stc2 19709 . . . 4  |-  ( j  e.  1stc  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1041, 102, 103sylanbrc 664 . . 3  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  1stc )
105104ssriv 3508 . 2  |- Locally  1stc  C_  1stc
106 1stcrest 19720 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e.  1stc )
107106adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  1stc )
108 1stctop 19710 . . . . . 6  |-  ( j  e.  1stc  ->  j  e. 
Top )
109108ssriv 3508 . . . . 5  |-  1stc  C_  Top
110109a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1stc  C_  Top )
111107, 110restlly 19750 . . 3  |-  ( T. 
->  1stc  C_ Locally  1stc )
112111trud 1388 . 2  |-  1stc  C_ Locally  1stc
113105, 112eqssi 3520 1  |- Locally  1stc  =  1stc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   -->wf 5582  (class class class)co 6282   omcom 6678    ~<_ cdom 7511   ↾t crest 14672   Topctop 19161   1stcc1stc 19704  Locally clly 19731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517  df-fi 7867  df-card 8316  df-acn 8319  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-1stc 19706  df-lly 19733
This theorem is referenced by:  dis1stc  19766
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