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Theorem lly1stc 20442
Description: First-countability is a local property (unlike second-countability). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
lly1stc  |- Locally  1stc  =  1stc

Proof of Theorem lly1stc
Dummy variables  j 
a  n  t  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 20418 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  Top )
2 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  (
jt  u )  e.  1stc )
3 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  u )
41ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  j  e.  Top )
5 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
65ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  C_ 
U. j )
7 eqid 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. j  =  U. j
87restuni 20109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  C_  U. j )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
94, 6, 8syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
103, 9eleqtrd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  U. ( jt  u ) )
11 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
jt  u )  =  U. ( jt  u )
12111stcclb 20390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( jt  u )  e.  1stc  /\  x  e.  U. (
jt  u ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
132, 10, 12syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
14 elpwi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  ~P ( jt  u )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
1514adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
1615sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  ( jt  u ) )
174adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  j  e.  Top )
18 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  u  e.  j )
19 restopn2 20124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2017, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2120simplbda 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  C_  u )
2216, 21syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  C_  u )
23 df-ss 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n 
C_  u  <->  ( n  i^i  u )  =  n )
2422, 23sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  =  n )
2520simprbda 627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  e.  j )
2616, 25syldan 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  j )
2724, 26eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  e.  j )
28 ineq1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  n  ->  (
a  i^i  u )  =  ( n  i^i  u ) )
2928cbvmptv 4518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  =  ( n  e.  t  |->  ( n  i^i  u ) )
3027, 29fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j )
31 frn 5752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
3332adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  C_  j
)
34 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  j  e. 
_V
3534elpw2 4589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j 
<->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  C_  j )
3633, 35sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j )
37 simprrl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
38 1stcrestlem 20398 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
404ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  j  e.  Top )
41 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  u  e.  j )
4241adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  u  e.  j )
43 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  j )
44 elrestr 15286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j  /\  z  e.  j )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( jt  u ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u ) )
46 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
4746adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
48 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
493ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  u )
5048, 49elind 3656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  ( z  i^i  u
) )
51 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( z  i^i  u
) ) )
52 sseq2 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
n  C_  v  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
5352anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <-> 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
5453rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
5551, 54imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  <->  ( x  e.  ( z  i^i  u
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) ) ) )
5655rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u )  ->  ( A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  u )  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) ) )
5745, 47, 50, 56syl3c 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) )
583ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  x  e.  u )
59 elin 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( n  i^i  u )  <->  ( x  e.  n  /\  x  e.  u ) )
6059simplbi2com 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  u  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
6222biantrud 509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  ( n  C_  z  /\  n  C_  u ) ) )
63 ssin 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  C_  z  /\  n  C_  u )  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
)
6462, 63syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
65 ssinss1 3696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n 
C_  z  ->  (
n  i^i  u )  C_  z )
6664, 65syl6bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  ( z  i^i  u )  ->  (
n  i^i  u )  C_  z ) )
6761, 66anim12d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
6867reximdva 2907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
69 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  n  e. 
_V
7069inex1 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  i^i  u )  e. 
_V
7170rgenw 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A. n  e.  t  ( n  i^i  u )  e.  _V
72 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( n  i^i  u
) ) )
73 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
w  C_  z  <->  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
7472, 73anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
7529, 74rexrnmpt 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  t  (
n  i^i  u )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
7671, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. w  e.  ran  (
a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
7768, 76syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7877adantrr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8057, 79mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8180expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  z  e.  j )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8281ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
83 breq1 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
)
84 rexeq 3033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8584imbi2d 317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8685ralbidv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8783, 86anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8887rspcev 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  e. 
~P j  /\  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8936, 39, 82, 88syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9013, 89rexlimddv 2928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
91903adantr1 1164 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
92 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e. Locally  1stc )
931adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e.  Top )
947topopn 19867 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Top  ->  U. j  e.  j )
9593, 94syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  U. j  e.  j
)
96 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  x  e.  U. j
)
97 llyi 20420 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  U. j  e.  j  /\  x  e.  U. j
)  ->  E. u  e.  j  ( u  C_ 
U. j  /\  x  e.  u  /\  (
jt  u )  e.  1stc ) )
9892, 95, 96, 97syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. u  e.  j 
( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )
9991, 98r19.29a 2977 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
10099ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1017is1stc2 20388 . . . 4  |-  ( j  e.  1stc  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1021, 100, 101sylanbrc 668 . . 3  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  1stc )
103102ssriv 3474 . 2  |- Locally  1stc  C_  1stc
104 1stcrest 20399 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e.  1stc )
105104adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  1stc )
106 1stctop 20389 . . . . . 6  |-  ( j  e.  1stc  ->  j  e. 
Top )
107106ssriv 3474 . . . . 5  |-  1stc  C_  Top
108107a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1stc  C_  Top )
109105, 108restlly 20429 . . 3  |-  ( T. 
->  1stc  C_ Locally  1stc )
110109trud 1446 . 2  |-  1stc  C_ Locally  1stc
111103, 110eqssi 3486 1  |- Locally  1stc  =  1stc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ran crn 4855   -->wf 5597  (class class class)co 6305   omcom 6706    ~<_ cdom 7575   ↾t crest 15278   Topctop 19848   1stcc1stc 20383  Locally clly 20410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fi 7931  df-card 8372  df-acn 8375  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-1stc 20385  df-lly 20412
This theorem is referenced by:  dis1stc  20445
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