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Theorem lly1stc 17512
Description: First-countability is a local property (unlike second-countability). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
lly1stc  |- Locally  1stc  =  1stc

Proof of Theorem lly1stc
Dummy variables  j 
a  n  t  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17488 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  Top )
2 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e. Locally  1stc )
31adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
j  e.  Top )
4 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  U. j  =  U. j
54topopn 16934 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Top  ->  U. j  e.  j )
63, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  U. j  e.  j
)
7 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  x  e.  U. j
)
8 llyi 17490 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  U. j  e.  j  /\  x  e.  U. j
)  ->  E. u  e.  j  ( u  C_ 
U. j  /\  x  e.  u  /\  (
jt  u )  e.  1stc ) )
92, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. u  e.  j 
( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )
10 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  (
jt  u )  e.  1stc )
11 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  u )
121ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  j  e.  Top )
13 elssuni 4003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  j  ->  u  C_ 
U. j )
1413ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  C_ 
U. j )
154restuni 17180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  C_  U. j )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
1612, 14, 15syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  u  =  U. ( jt  u ) )
1711, 16eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  x  e.  U. ( jt  u ) )
18 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
jt  u )  =  U. ( jt  u )
19181stcclb 17460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( jt  u )  e.  1stc  /\  x  e.  U. (
jt  u ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
2010, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. t  e.  ~P  ( jt  u ) ( t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) )
21 elpwi 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  ~P ( jt  u )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  t  C_  ( jt  u ) )
2322sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  ( jt  u ) )
2412adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  j  e.  Top )
25 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  u  e.  j )
26 restopn2 17195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( n  e.  ( jt  u )  <->  ( n  e.  j  /\  n  C_  u ) ) )
2827simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  C_  u )
2923, 28syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  C_  u )
30 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n 
C_  u  <->  ( n  i^i  u )  =  n )
3129, 30sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  =  n )
3227simprbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  ( jt  u ) )  ->  n  e.  j )
3323, 32syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  n  e.  j )
3431, 33eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  i^i  u )  e.  j )
35 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  n  ->  (
a  i^i  u )  =  ( n  i^i  u ) )
3635cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  =  ( n  e.  t  |->  ( n  i^i  u ) )
3734, 36fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j )
38 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) : t --> j  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) 
C_  j )
4039adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  C_  j
)
41 vex 2919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  j  e. 
_V
4241elpw2 4324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j 
<->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  C_  j )
4340, 42sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  e.  ~P j )
44 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
45 1stcrestlem 17468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
4712ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  j  e.  Top )
48 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  u  e.  j )
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  u  e.  j )
50 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  z  e.  j )
51 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Top  /\  u  e.  j  /\  z  e.  j )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( jt  u ) )
5247, 49, 50, 51syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u ) )
53 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) )
55 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  z )
5611ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  u )
57 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( z  i^i  u )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  u ) )
5855, 56, 57sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  x  e.  ( z  i^i  u
) )
59 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
x  e.  v  <->  x  e.  ( z  i^i  u
) ) )
60 sseq2 3330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
n  C_  v  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
6160anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <-> 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
6261rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  v )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) )
6359, 62imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  <->  ( x  e.  ( z  i^i  u
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) ) ) )
6463rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( jt  u )  ->  ( A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) )  -> 
( x  e.  ( z  i^i  u )  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) ) ) ) )
6552, 54, 58, 64syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u
) ) )
6611ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  x  e.  u )
67 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( n  i^i  u )  <->  ( x  e.  n  /\  x  e.  u ) )
6867simplbi2com 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  u  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
6966, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
x  e.  n  ->  x  e.  ( n  i^i  u ) ) )
7029biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  ( n  C_  z  /\  n  C_  u ) ) )
71 ssin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  C_  z  /\  n  C_  u )  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
)
7270, 71syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  z  <->  n  C_  (
z  i^i  u )
) )
73 ssinss1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n 
C_  z  ->  (
n  i^i  u )  C_  z )
7472, 73syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
n  C_  ( z  i^i  u )  ->  (
n  i^i  u )  C_  z ) )
7569, 74anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  /\  n  e.  t )  ->  (
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
7675reximdva 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
77 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  n  e. 
_V
7877inex1 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  i^i  u )  e. 
_V
7978rgenw 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. n  e.  t  ( n  i^i  u )  e.  _V
80 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( n  i^i  u
) ) )
81 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
w  C_  z  <->  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
8280, 81anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( n  i^i  u )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
8336, 82rexrnmpt 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. n  e.  t  (
n  i^i  u )  e.  _V  ->  ( E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t 
( x  e.  ( n  i^i  u )  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) ) )
8479, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. w  e.  ran  (
a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. n  e.  t  ( x  e.  ( n  i^i  u
)  /\  ( n  i^i  u )  C_  z
) )
8576, 84syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  t  e.  ~P ( jt  u ) )  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8685adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  ( E. n  e.  t 
( x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  ( E. n  e.  t  (
x  e.  n  /\  n  C_  ( z  i^i  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8865, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  (
z  e.  j  /\  x  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )
8988expr 599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  ( x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  /\  z  e.  j )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
9089ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
91 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om )
)
92 rexeq 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
9392imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9493ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9591, 94anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
9695rspcev 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  ( a  e.  t  |->  ( a  i^i  u ) )  e. 
~P j  /\  ( ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) )  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ran  ( a  e.  t 
|->  ( a  i^i  u
) ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9743, 46, 90, 96syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  /\  (
t  e.  ~P (
jt  u )  /\  (
t  ~<_  om  /\  A. v  e.  ( jt  u ) ( x  e.  v  ->  E. n  e.  t  ( x  e.  n  /\  n  C_  v ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
9820, 97rexlimddv 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
99983adantr1 1116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  /\  (
u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc ) )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
10099ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  /\  u  e.  j )  ->  ( ( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
101100rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  -> 
( E. u  e.  j  ( u  C_  U. j  /\  x  e.  u  /\  ( jt  u )  e.  1stc )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1029, 101mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( j  e. Locally  1stc  /\  x  e.  U. j )  ->  E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om 
/\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
103102ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
1044is1stc2 17458 . . . 4  |-  ( j  e.  1stc  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. j E. y  e.  ~P  j ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  j  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
1051, 103, 104sylanbrc 646 . . 3  |-  ( j  e. Locally  1stc  ->  j  e.  1stc )
106105ssriv 3312 . 2  |- Locally  1stc  C_  1stc
107 1stcrest 17469 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j )  ->  (
jt  x )  e.  1stc )
108107adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( j  e.  1stc  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  1stc )
109 1stctop 17459 . . . . . 6  |-  ( j  e.  1stc  ->  j  e. 
Top )
110109ssriv 3312 . . . . 5  |-  1stc  C_  Top
111110a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1stc  C_  Top )
112108, 111restlly 17499 . . 3  |-  (  T. 
->  1stc  C_ Locally  1stc )
113112trud 1329 . 2  |-  1stc  C_ Locally  1stc
114106, 113eqssi 3324 1  |- Locally  1stc  =  1stc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   omcom 4804   ran crn 4838   -->wf 5409  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066   ↾t crest 13603   Topctop 16913   1stcc1stc 17453  Locally clly 17480
This theorem is referenced by:  dis1stc  17515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-card 7782  df-acn 7785  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-1stc 17455  df-lly 17482
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