Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnneat Structured version   Unicode version

Theorem llnneat 34328
Description: A lattice line is not an atom. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnneat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnneat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnneat  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  -.  X  e.  A
)

Proof of Theorem llnneat
StepHypRef Expression
1 hllat 34178 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 llnneat.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
42, 3llnbase 34323 . . 3  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
62, 5latref 15540 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  ->  X ( le `  K ) X )
71, 4, 6syl2an 477 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  X ( le `  K ) X )
8 llnneat.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
95, 8, 3llnnleat 34327 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  X  e.  A )  ->  -.  X ( le
`  K ) X )
1093expia 1198 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( X  e.  A  ->  -.  X ( le
`  K ) X ) )
117, 10mt2d 117 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  -.  X  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14490   lecple 14562   Latclat 15532   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LLinesclln 34305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-poset 15433  df-plt 15445  df-glb 15462  df-p0 15526  df-lat 15533  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312
This theorem is referenced by:  2atneat  34329  islln2a  34331  cdleme22b  35155  cdlemh  35631
  Copyright terms: Public domain W3C validator