Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem llnmlplnN 33104
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnmlpln.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnmlpln.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
llnmlpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnmlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llnmlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 764 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  -.  X  .<_  Y )
2 simp11 1038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 32929 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp12 1039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 llnmlpln.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LLines `  K )
86, 7llnbase 33074 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 simp13 1040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  P
)
11 llnmlpln.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
126, 11lplnbase 33099 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1310, 12syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
14 llnmlpln.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
156, 14latmcl 16298 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
164, 9, 13, 15syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
17 simp2r 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
18 simp3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  -.  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
19 llnmlpln.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 llnmlpln.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
21 llnmlpln.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
226, 19, 20, 21, 7llnle 33083 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A ) )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )
)
232, 16, 17, 18, 22syl22anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y ) )
244adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  Lat )
2516adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
269adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
276, 19, 14latmle1 16322 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
284, 9, 13, 27syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
2928adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
306, 7llnbase 33074 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  N  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
3130ad2antrl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
32 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  ( X  ./\  Y
) )
336, 19, 24, 31, 25, 26, 32, 29lattrd 16304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  X )
34 simpl11 1083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  HL )
35 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  N )
36 simpl12 1084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  N )
3719, 7llncmp 33087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  u  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  ( u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  (
u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3933, 38mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  =  X )
4039, 32eqbrtrrd 4425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  .<_  ( X  ./\  Y
) )
416, 19, 24, 25, 26, 29, 40latasymd 16303 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
4223, 41rexlimddv 2883 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
436, 19, 14latleeqm1 16325 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
444, 9, 13, 43syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  .<_  Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4542, 44mpbird 236 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  .<_  Y )
46453expia 1210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( -.  ( X  ./\  Y )  e.  A  ->  X  .<_  Y ) )
471, 46mt3d 129 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   lecple 15197   meetcmee 16190   0.cp0 16283   Latclat 16291   Atomscatm 32829   HLchlt 32916   LLinesclln 33056   LPlanesclpl 33057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator