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Theorem llnmlplnN 33183
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnmlpln.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnmlpln.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
llnmlpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnmlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llnmlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  -.  X  .<_  Y )
2 simp11 1018 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 33008 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp12 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
7 llnmlpln.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LLines `  K )
86, 7llnbase 33153 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
10 simp13 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  P
)
11 llnmlpln.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
126, 11lplnbase 33178 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1310, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
14 llnmlpln.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
156, 14latmcl 15222 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
164, 9, 13, 15syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
17 simp2r 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
18 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  -.  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
19 llnmlpln.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 llnmlpln.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
21 llnmlpln.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
226, 19, 20, 21, 7llnle 33162 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A ) )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y )
)
232, 16, 17, 18, 22syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  E. u  e.  N  u  .<_  ( X  ./\  Y ) )
244adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  Lat )
2516adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
269adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
276, 19, 14latmle1 15246 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
284, 9, 13, 27syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
2928adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
306, 7llnbase 33153 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  N  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  ( Base `  K
) )
32 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  ( X  ./\  Y
) )
336, 19, 24, 31, 25, 26, 32, 29lattrd 15228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  .<_  X )
34 simpl11 1063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  K  e.  HL )
35 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  e.  N )
36 simpl12 1064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  e.  N )
3719, 7llncmp 33166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  u  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  ( u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3834, 35, 36, 37syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  (
u  .<_  X  <->  u  =  X ) )
3933, 38mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  u  =  X )
4039, 32eqbrtrrd 4314 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  X  .<_  ( X  ./\  Y
) )
416, 19, 24, 25, 26, 29, 40latasymd 15227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  /\  ( u  e.  N  /\  u  .<_  ( X  ./\  Y )
) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
4223, 41rexlimddv 2845 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  =  X )
436, 19, 14latleeqm1 15249 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
444, 9, 13, 43syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  .<_  Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
4542, 44mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )  /\  -.  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  .<_  Y )
46453expia 1189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( -.  ( X  ./\  Y )  e.  A  ->  X  .<_  Y ) )
471, 46mt3d 125 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  ( -.  X  .<_  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   meetcmee 15115   0.cp0 15207   Latclat 15215   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LLinesclln 33135   LPlanesclpl 33136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143
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