Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnle Structured version   Unicode version

Theorem llnle 32515
 Description: Any element greater than 0 and not an atom majorizes a lattice line. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnle.b
llnle.l
llnle.z
llnle.a
llnle.n
Assertion
Ref Expression
llnle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem llnle
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 752 . . 3
2 simplr 754 . . 3
3 simprl 756 . . 3
4 llnle.b . . . 4
5 llnle.l . . . 4
6 llnle.z . . . 4
7 llnle.a . . . 4
84, 5, 6, 7atle 32433 . . 3
91, 2, 3, 8syl3anc 1230 . 2
10 simp1ll 1060 . . . . . 6
114, 7atbase 32287 . . . . . . 7
12113ad2ant2 1019 . . . . . 6
13 simp1lr 1061 . . . . . 6
14 simp3 999 . . . . . . 7
15 simp2 998 . . . . . . . 8
16 simp1rr 1063 . . . . . . . 8
17 nelne2 2733 . . . . . . . 8
1815, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . 7
19 eqid 2402 . . . . . . . . 9
205, 19pltval 15912 . . . . . . . 8
2110, 15, 13, 20syl3anc 1230 . . . . . . 7
2214, 18, 21mpbir2and 923 . . . . . 6
23 eqid 2402 . . . . . . 7
24 eqid 2402 . . . . . . 7
254, 5, 19, 23, 24, 7hlrelat3 32409 . . . . . 6
2610, 12, 13, 22, 25syl31anc 1233 . . . . 5
27 simp1ll 1060 . . . . . . . . . . 11
28 simp21 1030 . . . . . . . . . . . 12
29 simp23 1032 . . . . . . . . . . . 12
304, 23, 7hlatjcl 32364 . . . . . . . . . . . 12
3127, 28, 29, 30syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11
32 simp3l 1025 . . . . . . . . . . 11
33 llnle.n . . . . . . . . . . . 12
344, 24, 7, 33llni 32505 . . . . . . . . . . 11
3527, 31, 28, 32, 34syl31anc 1233 . . . . . . . . . 10
36 simp3r 1026 . . . . . . . . . 10
37 breq1 4397 . . . . . . . . . . 11
3837rspcev 3159 . . . . . . . . . 10
3935, 36, 38syl2anc 659 . . . . . . . . 9
40393exp 1196 . . . . . . . 8
41403expd 1214 . . . . . . 7
42413imp 1191 . . . . . 6
4342rexlimdv 2893 . . . . 5
4426, 43mpd 15 . . . 4
45443exp 1196 . . 3
4645rexlimdv 2893 . 2
479, 46mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wrex 2754   class class class wbr 4394  cfv 5568  (class class class)co 6277  cbs 14839  cple 14914  cplt 15892  cjn 15895  cp0 15989   ccvr 32260  catm 32261  chlt 32348  clln 32488 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-lub 15926  df-glb 15927  df-join 15928  df-meet 15929  df-p0 15991  df-lat 15998  df-clat 16060  df-oposet 32174  df-ol 32176  df-oml 32177  df-covers 32264  df-ats 32265  df-atl 32296  df-cvlat 32320  df-hlat 32349  df-llines 32495 This theorem is referenced by:  llnmlplnN  32536  lplnle  32537  llncvrlpln  32555
 Copyright terms: Public domain W3C validator