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Theorem llnexchb2lem 35735
Description: Lemma for llnexchb2 35736. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
llnexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnexch.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )

Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl21 1074 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  A )
3 simpl12 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  N )
4 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 llnexch.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LLines `  K )
64, 5llnbase 35376 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
73, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
8 hllat 35231 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
91, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl13 1073 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  N )
114, 5llnbase 35376 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
13 llnexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
144, 13latmcl 15809 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
159, 7, 12, 14syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
16 llnexch.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
174, 16, 13latmle1 15833 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
189, 7, 12, 17syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
19 llnexch.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 llnexch.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 16, 19, 13, 20atmod2i2 35729 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  P
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) ) )
221, 2, 7, 15, 18, 21syl131anc 1241 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X 
./\  Y ) ) ) )
234, 20atbase 35157 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
242, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
254, 13latmcom 15832 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  P )  =  ( P  ./\  X
) )
269, 7, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( P 
./\  X ) )
27 simpl23 1076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  P  .<_  X )
28 hlatl 35228 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
291, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  AtLat )
30 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
314, 16, 13, 30, 20atnle 35185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  ( P  ./\ 
X )  =  ( 0. `  K ) ) )
3229, 2, 7, 31syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  <-> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3327, 32mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) )
3426, 33eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( 0.
`  K ) )
3534oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
36 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 hlcvl 35227 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
381, 37syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  CvLat )
39 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
40 simpl22 1075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
41 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( P  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4218, 41syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  P  .<_  X )
)
4342necon3bd 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) ) )
4427, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) )
4544necomd 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =/=  P )
4616, 19, 20cvlatexchb1 35202 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  P )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4738, 39, 40, 2, 45, 46syl131anc 1241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( P  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4836, 47mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
4948oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5022, 35, 493eqtr3rd 2507 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
51 hlol 35229 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
521, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  OL )
534, 19, 30olj02 35094 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( 0. `  K
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )
5452, 15, 53syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( 0. `  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( X  ./\  Y ) )
5550, 54eqtr2d 2499 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5655ex 434 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
57 simp11 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
5857, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
59 simp12 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6059, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
61 simp21 1029 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  P  e.  A
)
62 simp22 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Q  e.  A
)
634, 19, 20hlatjcl 35234 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
6457, 61, 62, 63syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K ) )
654, 16, 13latmle2 15834 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
6658, 60, 64, 65syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 breq1 4459 . . 3  |-  ( ( X  ./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) ) )
6866, 67syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
6956, 68impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   lecple 14719   joincjn 15700   meetcmee 15701   0.cp0 15794   Latclat 15802   OLcol 35042   Atomscatm 35131   AtLatcal 35132   CvLatclc 35133   HLchlt 35218   LLinesclln 35358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-preset 15684  df-poset 15702  df-plt 15715  df-lub 15731  df-glb 15732  df-join 15733  df-meet 15734  df-p0 15796  df-lat 15803  df-clat 15865  df-oposet 35044  df-ol 35046  df-oml 35047  df-covers 35134  df-ats 35135  df-atl 35166  df-cvlat 35190  df-hlat 35219  df-llines 35365  df-psubsp 35370  df-pmap 35371  df-padd 35663
This theorem is referenced by:  llnexchb2  35736
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