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Theorem llnexchb2lem 33345
Description: Lemma for llnexchb2 33346. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
llnexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnexch.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )

Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1080 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl21 1083 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  A )
3 simpl12 1081 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  N )
4 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 llnexch.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LLines `  K )
64, 5llnbase 32986 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
73, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
8 hllat 32841 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
91, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  Lat )
10 simpl13 1082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  N )
114, 5llnbase 32986 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
13 llnexch.m . . . . . . . 8  |-  ./\  =  ( meet `  K )
144, 13latmcl 16241 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
159, 7, 12, 14syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
16 llnexch.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
174, 16, 13latmle1 16265 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
189, 7, 12, 17syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  X )
19 llnexch.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 llnexch.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
214, 16, 19, 13, 20atmod2i2 33339 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  P
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) ) )
221, 2, 7, 15, 18, 21syl131anc 1277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  ( X 
./\  Y ) ) ) )
234, 20atbase 32767 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
242, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
254, 13latmcom 16264 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  P )  =  ( P  ./\  X
) )
269, 7, 24, 25syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( P 
./\  X ) )
27 simpl23 1085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  P  .<_  X )
28 hlatl 32838 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
291, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  AtLat )
30 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
314, 16, 13, 30, 20atnle 32795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  P  e.  A  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( -.  P  .<_  X  <->  ( P  ./\ 
X )  =  ( 0. `  K ) ) )
3229, 2, 7, 31syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  <-> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
3327, 32mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  ./\  X
)  =  ( 0.
`  K ) )
3426, 33eqtrd 2462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  P
)  =  ( 0.
`  K ) )
3534oveq1d 6264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  P )  .\/  ( X 
./\  Y ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
36 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  .<_  ( P  .\/  Q ) )
37 hlcvl 32837 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CvLat )
381, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  CvLat )
39 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
40 simpl22 1084 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  Q  e.  A )
41 breq1 4369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( P  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
4218, 41syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  =  ( X  ./\  Y )  ->  P  .<_  X )
)
4342necon3bd 2615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( -.  P  .<_  X  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) ) )
4427, 43mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  P  =/=  ( X  ./\  Y ) )
4544necomd 2656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =/=  P )
4616, 19, 20cvlatexchb1 32812 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CvLat  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  P )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4738, 39, 40, 2, 45, 46syl131anc 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( P  .\/  ( X  ./\  Y
) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
4836, 47mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( P  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( P  .\/  Q ) )
4948oveq2d 6265 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5022, 35, 493eqtr3rd 2471 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( ( 0.
`  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
51 hlol 32839 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
521, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  OL )
534, 19, 30olj02 32704 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( 0. `  K
)  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )
5452, 15, 53syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( ( 0. `  K )  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  ( X  ./\  Y ) )
5550, 54eqtr2d 2463 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) )
5655ex 435 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
57 simp11 1035 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  HL )
5857, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
59 simp12 1036 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  N
)
6059, 6syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
61 simp21 1038 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  P  e.  A
)
62 simp22 1039 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  Q  e.  A
)
634, 19, 20hlatjcl 32844 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
6457, 61, 62, 63syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K ) )
654, 16, 13latmle2 16266 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
6658, 60, 64, 65syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  .<_  ( P  .\/  Q ) )
67 breq1 4369 . . 3  |-  ( ( X  ./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  ( P  .\/  Q ) ) 
.<_  ( P  .\/  Q
) ) )
6866, 67syl5ibrcom 225 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =  ( X  ./\  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
6956, 68impbid 193 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  -.  P  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Basecbs 15064   lecple 15140   joincjn 16132   meetcmee 16133   0.cp0 16226   Latclat 16234   OLcol 32652   Atomscatm 32741   AtLatcal 32742   CvLatclc 32743   HLchlt 32828   LLinesclln 32968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-lat 16235  df-clat 16297  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273
This theorem is referenced by:  llnexchb2  33346
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