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Theorem llnexchb2 35333
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 34800 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llnexch.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
llnexch.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
llnexch.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
llnexch.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
llnexchb2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
) )

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1032 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  N )
2 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  K  e.  HL )
3 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 llnexch.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LLines `  K )
53, 4llnbase 34973 . . . . 5  |-  ( Z  e.  N  ->  Z  e.  ( Base `  K
) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  e.  ( Base `  K ) )
7 llnexch.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 llnexch.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
93, 7, 8, 4islln3 34974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( Z  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  Z  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
102, 6, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  -> 
( Z  e.  N  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  Z  =  ( p  .\/  q ) ) ) )
111, 10mpbid 210 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  Z  =  (
p  .\/  q )
) )
12 simp3r 1026 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  X  =/=  Z )
1312necomd 2714 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  ->  Z  =/=  X )
14 simp11 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  HL )
15 hllat 34828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  K  e.  Lat )
17 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  A )
183, 8atbase 34754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
20 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  q  e.  A )
213, 8atbase 34754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  A  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  q  e.  ( Base `  K
) )
23 simp121 1129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  X  e.  N )
243, 4llnbase 34973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
26 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
273, 26, 7latjle12 15670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <-> 
( p  .\/  q
)  .<_  X ) )
2816, 19, 22, 25, 27syl13anc 1231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <->  ( p  .\/  q )  .<_  X ) )
29 simp3 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  p  =/=  q )
307, 8, 4llni2 34976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q
)  ->  ( p  .\/  q )  e.  N
)
3114, 17, 20, 29, 30syl31anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
p  .\/  q )  e.  N )
3226, 4llncmp 34986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p  .\/  q )  e.  N  /\  X  e.  N )  ->  (
( p  .\/  q
)  .<_  X  <->  ( p  .\/  q )  =  X ) )
3314, 31, 23, 32syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  .<_  X  <->  ( p  .\/  q )  =  X ) )
3428, 33bitr2d 254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =  X  <->  ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X ) ) )
3534necon3abid 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =/=  X  <->  -.  (
p  .<_  X  /\  q  .<_  X ) ) )
36 ianor 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( p  .<_  X  /\  q  .<_  X )  <->  ( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X ) )
3735, 36syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =/=  X  <->  ( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X ) ) )
38 simpl11 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
3923adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  X  e.  N )
40 simp122 1130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  Y  e.  N )
4140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  Y  e.  N )
42 simpl2l 1050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  p  e.  A )
43 simpl2r 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
q  e.  A )
44 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  ->  -.  p  .<_  X )
45 simp13l 1112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
4645adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
47 llnexch.m . . . . . . . . . . 11  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 35332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A  /\  -.  p  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  ( X 
./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
4938, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 48syl331anc 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  p  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
5049ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( -.  p  .<_  X  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
51 simpl11 1072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
5223adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  X  e.  N )
5340adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  Y  e.  N )
54 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
q  e.  A )
55 simpl2l 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  p  e.  A )
56 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  ->  -.  q  .<_  X )
5745adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
5826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 35332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( q  e.  A  /\  p  e.  A  /\  -.  q  .<_  X )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  A )  ->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( q  .\/  p
)  <->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
5951, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58syl331anc 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( q  .\/  p )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
607, 8hlatjcom 34832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  =  ( q 
.\/  p ) )
6151, 55, 54, 60syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( p  .\/  q
)  =  ( q 
.\/  p ) )
6261breq2d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( q 
.\/  p ) ) )
6361oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( X  ./\  (
p  .\/  q )
)  =  ( X 
./\  ( q  .\/  p ) ) )
6463eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( p  .\/  q ) )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( q  .\/  p ) ) ) )
6559, 62, 643bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N )  /\  (
( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  X  =/=  Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  /\  p  =/=  q )  /\  -.  q  .<_  X )  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( -.  q  .<_  X  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
6750, 66jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( -.  p  .<_  X  \/  -.  q  .<_  X )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
6837, 67sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  (
( p  .\/  q
)  =/=  X  -> 
( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
69 neeq1 2724 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( Z  =/=  X  <->  ( p  .\/  q )  =/=  X
) )
70 breq2 4441 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( p 
.\/  q ) ) )
71 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( X  ./\  Z )  =  ( X  ./\  (
p  .\/  q )
) )
7271eqeq2d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( X  ./\  Y
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Y )  =  ( X  ./\  ( p  .\/  q ) ) ) )
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( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
)  <->  ( ( X 
./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <-> 
( X  ./\  Y
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./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
7469, 73imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( Z  =/=  X  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
) )  <->  ( (
p  .\/  q )  =/=  X  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  ( p  .\/  q )  <-> 
( X  ./\  Y
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./\  ( p  .\/  q ) ) ) ) ) )
7568, 74syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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Z ) )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A
)  /\  p  =/=  q )  ->  ( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( Z  =/=  X  ->  (
( X  ./\  Y
)  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
) ) ) )
76753exp 1196 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
p  =/=  q  -> 
( Z  =  ( p  .\/  q )  ->  ( Z  =/= 
X  ->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  Z 
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./\  Z ) ) ) ) ) ) )
7776imp4a 589 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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Z ) )  -> 
( ( p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  (
( p  =/=  q  /\  Z  =  (
p  .\/  q )
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7877rexlimdvv 2941 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
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Z ) )  -> 
( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  Z  =  ( p  .\/  q
) )  ->  ( Z  =/=  X  ->  (
( X  ./\  Y
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Y )  =  ( X  ./\  Z )
) ) ) )
7911, 13, 78mp2d 45 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  e.  N  /\  Y  e.  N  /\  Z  e.  N
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  /\  X  =/= 
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( ( X  ./\  Y )  .<_  Z  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  ( X  ./\  Z )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   lecple 14685   joincjn 15551   meetcmee 15552   Latclat 15653   Atomscatm 34728   HLchlt 34815   LLinesclln 34955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-preset 15535  df-poset 15553  df-plt 15566  df-lub 15582  df-glb 15583  df-join 15584  df-meet 15585  df-p0 15647  df-lat 15654  df-clat 15716  df-oposet 34641  df-ol 34643  df-oml 34644  df-covers 34731  df-ats 34732  df-atl 34763  df-cvlat 34787  df-hlat 34816  df-llines 34962  df-psubsp 34967  df-pmap 34968  df-padd 35260
This theorem is referenced by:  llnexch2N  35334  cdleme20l  35788
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