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Theorem llncvrlpln2 34353
Description: A lattice line under a lattice plane is covered by it. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
llncvrlpln2.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln2.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln2.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )

Proof of Theorem llncvrlpln2
Dummy variables  q  p  r  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y )
2 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  K  e.  HL )
3 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  P
)
4 llncvrlpln2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LLines `  K )
5 llncvrlpln2.p . . . . . 6  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
64, 5lplnnelln 34342 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
72, 3, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  e.  N )
8 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  e.  N
)
9 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  N ) )
108, 9syl5ibcom 220 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X  =  Y  ->  Y  e.  N ) )
1110necon3bd 2679 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  Y  e.  N  ->  X  =/= 
Y ) )
127, 11mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X  =/=  Y
)
13 llncvrlpln2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
1513, 14pltval 15443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( X ( lt
`  K ) Y  <-> 
( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y ) ) )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( X ( lt `  K ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/=  Y
) ) )
171, 12, 16mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
18 simpl1 999 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  K  e.  HL )
19 simpl2 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  N
)
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2120, 4llnbase 34305 . . . . 5  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2219, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
23 simpl3 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  P
)
2420, 5lplnbase 34330 . . . . 5  |-  ( Y  e.  P  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
26 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
27 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
28 llncvrlpln2.c . . . . 5  |-  C  =  (  <o  `  K )
29 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3020, 13, 14, 27, 28, 29hlrelat3 34208 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
( lt `  K
) Y )  ->  E. r  e.  ( Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3118, 22, 25, 26, 30syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )
3220, 13, 27, 29, 5islpln2 34332 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  <->  ( Y  e.  ( Base `  K )  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) ) ) )
34 simp3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K
) t )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
3520, 27, 29, 4islln2 34307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) ) ) ) )
36 simp3l 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X (
join `  K )
r ) )
37 simp3r 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r ) 
.<_  Y )
38 simp12r 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )
3938oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
40 simp22 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
4137, 39, 403brtr3d 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u ) )
42 simp111 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
43 simp112 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K ) )
44 simp113 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
q  e.  ( Atoms `  K ) )
45 simp23 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
4643, 44, 453jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
) )
47 simp13l 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
s  e.  ( Atoms `  K ) )
48 simp13r 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
t  e.  ( Atoms `  K ) )
49 simp21 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  u  e.  ( Atoms `  K ) )
5047, 48, 493jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K )
) )
5136, 38, 393brtr3d 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) )
5220, 27, 29hlatjcl 34163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( p
( join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
)
5342, 43, 44, 52syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
) )
5420, 13, 27, 28, 29cvr1 34206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( -.  r  .<_  ( p (
join `  K )
q )  <->  ( p
( join `  K )
q ) C ( ( p ( join `  K ) q ) ( join `  K
) r ) ) )
5542, 53, 45, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) C ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r ) ) )
5651, 55mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  -.  r  .<_  ( p ( join `  K
) q ) )
57 simp12l 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  p  =/=  q )
5813, 27, 293at 34286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )  /\  u  e.  ( Atoms `  K ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  ( p ( join `  K ) q )  /\  p  =/=  q
) )  ->  (
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r ) 
.<_  ( ( s (
join `  K )
t ) ( join `  K ) u )  <-> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )
5942, 46, 50, 56, 57, 58syl32anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( ( p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  .<_  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  <->  ( (
p ( join `  K
) q ) (
join `  K )
r )  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) ) )
6041, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
q ) ( join `  K ) r )  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )
6160, 39, 403eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  -> 
( X ( join `  K ) r )  =  Y )
6236, 61breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  /\  (
u  e.  ( Atoms `  K )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
63623exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
( u  e.  (
Atoms `  K )  /\  Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  /\  r  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( X C ( X (
join `  K )
r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
64633expd 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  (
u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( (
s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u )  ->  (
r  e.  ( Atoms `  K )  ->  (
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
65643exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
p  =/=  q  /\  X  =  ( p
( join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
66653expib 1199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p ( join `  K ) q ) )  ->  ( (
s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) ) )
6766rexlimdvv 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) )  -> 
( ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6867adantld 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. p  e.  (
Atoms `  K ) E. q  e.  ( Atoms `  K ) ( p  =/=  q  /\  X  =  ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  ( ( s  e.  ( Atoms `  K
)  /\  t  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
6935, 68sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  N  ->  ( ( s  e.  (
Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( u  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) ) ) )
7069imp31 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7134, 70syl7 68 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( u  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s ( join `  K ) t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K ) t ) ( join `  K
) u ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) ) )
7271rexlimdv 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  /\  ( s  e.  ( Atoms `  K )  /\  t  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7372rexlimdvva 2962 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7473adantld 467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( ( Y  e.  ( Base `  K
)  /\  E. s  e.  ( Atoms `  K ) E. t  e.  ( Atoms `  K ) E. u  e.  ( Atoms `  K ) ( s  =/=  t  /\  -.  u  .<_  ( s (
join `  K )
t )  /\  Y  =  ( ( s ( join `  K
) t ) (
join `  K )
u ) ) )  ->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  ->  ( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
7533, 74sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) ) )
76753impia 1193 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( r  e.  (
Atoms `  K )  -> 
( ( X C ( X ( join `  K ) r )  /\  ( X (
join `  K )
r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) ) )
7776rexlimdv 2953 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. r  e.  ( Atoms `  K )
( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y )  ->  X C Y ) )
7877imp 429 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  E. r  e.  (
Atoms `  K ) ( X C ( X ( join `  K
) r )  /\  ( X ( join `  K
) r )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
7931, 78syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  X C Y )
8017, 79syldan 470 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  X  .<_  Y )  ->  X C Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   lecple 14558   ltcplt 15424   joincjn 15427    <o ccvr 34059   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LLinesclln 34287   LPlanesclpl 34288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295
This theorem is referenced by:  llncvrlpln  34354  2llnmj  34356  lplncmp  34358  lplnexatN  34359  2llnm2N  34364  2lplnmj  34418
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