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Theorem llncvrlpln 33093
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
llncvrlpln.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1044 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1046 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  N )
4 simplr 760 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X C Y )
5 llncvrlpln.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 llncvrlpln.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 llncvrlpln.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
8 llncvrlpln.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 6, 7, 8lplni 33067 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  N )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  P
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1267 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  P )
11 simpll1 1044 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1045 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  B )
13 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1413, 8lplnneat 33080 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  (
Atoms `  K ) )
1511, 14sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
16 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X C Y )
17 breq1 4426 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
1816, 17syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
19 simpll3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  B )
20 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
215, 20, 6, 13isat2 32823 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2211, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2318, 22sylibrd 237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
2423necon3bd 2632 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
2515, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
267, 8lplnnelln 33081 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
2711, 26sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N )
285, 6, 13, 7atcvrlln 33055 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
2928adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
3027, 29mtbird 302 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
31 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
325, 31, 20, 13, 7llnle 33053 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
34 simpr3 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
35 simpll1 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
36 hlop 32898 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
38 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  N )
395, 7llnbase 33044 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  B )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
41 simpll2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
42 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
43 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  P )
445, 31, 6cvrle 32814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
4544adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
46 hlpos 32901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
485, 31postr 16199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
5034, 45, 49mp2and 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 33092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
53 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
545, 31, 6cvrcmp2 32820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
5634, 55mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
5756, 38eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  N )
58573exp2 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( z  e.  N  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  N ) ) ) )
5958imp 430 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  (
z  e.  N  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  N
) ) )
6059rexlimdv 2912 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  N  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  N )
)
6133, 60mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  N )
6210, 61impbida 840 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   class class class wbr 4423   ` cfv 5601   Basecbs 15121   lecple 15197   Posetcpo 16185   0.cp0 16283   OPcops 32708    <o ccvr 32798   Atomscatm 32799   HLchlt 32886   LLinesclln 33026   LPlanesclpl 33027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32712  df-ol 32714  df-oml 32715  df-covers 32802  df-ats 32803  df-atl 32834  df-cvlat 32858  df-hlat 32887  df-llines 33033  df-lplanes 33034
This theorem is referenced by:  2lplnmN  33094  2llnmj  33095  lplncvrlvol  33151  2lplnm2N  33156  2lplnmj  33157
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