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Theorem llncvrlpln 32832
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
llncvrlpln.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1044 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1046 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  N )
4 simplr 760 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X C Y )
5 llncvrlpln.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 llncvrlpln.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 llncvrlpln.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
8 llncvrlpln.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 6, 7, 8lplni 32806 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  N )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  P
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1267 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  P )
11 simpll1 1044 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1045 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  B )
13 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1413, 8lplnneat 32819 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  (
Atoms `  K ) )
1511, 14sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
16 simplr 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X C Y )
17 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
1816, 17syl5ibcom 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
19 simpll3 1046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  B )
20 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
215, 20, 6, 13isat2 32562 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2211, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2318, 22sylibrd 237 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
2423necon3bd 2643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
2515, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
267, 8lplnnelln 32820 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
2711, 26sylancom 671 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N )
285, 6, 13, 7atcvrlln 32794 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
2928adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
3027, 29mtbird 302 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
31 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
325, 31, 20, 13, 7llnle 32792 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1265 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
34 simpr3 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
35 simpll1 1044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
36 hlop 32637 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
38 simpr2 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  N )
395, 7llnbase 32783 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  B )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
41 simpll2 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
42 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
43 simpr1 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  P )
445, 31, 6cvrle 32553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
4544adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
46 hlpos 32640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
485, 31postr 16150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
5034, 45, 49mp2and 683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 32831 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
53 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
545, 31, 6cvrcmp2 32559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
5634, 55mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
5756, 38eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  N )
58573exp2 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( z  e.  N  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  N ) ) ) )
5958imp 430 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  (
z  e.  N  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  N
) ) )
6059rexlimdv 2922 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  N  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  N )
)
6133, 60mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  N )
6210, 61impbida 840 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lecple 15159   Posetcpo 16136   0.cp0 16234   OPcops 32447    <o ccvr 32537   Atomscatm 32538   HLchlt 32625   LLinesclln 32765   LPlanesclpl 32766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-lat 16243  df-clat 16305  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773
This theorem is referenced by:  2lplnmN  32833  2llnmj  32834  lplncvrlvol  32890  2lplnm2N  32895  2lplnmj  32896
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