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Theorem llncvrlpln 33202
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
llncvrlpln.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1027 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1029 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  N )
4 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X C Y )
5 llncvrlpln.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 llncvrlpln.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 llncvrlpln.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
8 llncvrlpln.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 6, 7, 8lplni 33176 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  N )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  P
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1221 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  P )
11 simpll1 1027 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1028 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  B )
13 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1413, 8lplnneat 33189 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  (
Atoms `  K ) )
1511, 14sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
16 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X C Y )
17 breq1 4295 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
19 simpll3 1029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  B )
20 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
215, 20, 6, 13isat2 32932 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2211, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2318, 22sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
2423necon3bd 2645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
2515, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
267, 8lplnnelln 33190 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
2711, 26sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N )
285, 6, 13, 7atcvrlln 33164 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
3027, 29mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
31 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
325, 31, 20, 13, 7llnle 33162 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
34 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
35 simpll1 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
36 hlop 33007 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
38 simpr2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  N )
395, 7llnbase 33153 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  B )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
41 simpll2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
42 simpll3 1029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
43 simpr1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  P )
445, 31, 6cvrle 32923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
46 hlpos 33010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4735, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
485, 31postr 15123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
5034, 45, 49mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 33201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
53 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
545, 31, 6cvrcmp2 32929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
5634, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
5756, 38eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  N )
58573exp2 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( z  e.  N  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  N ) ) ) )
5958imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  (
z  e.  N  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  N
) ) )
6059rexlimdv 2840 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  N  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  N )
)
6133, 60mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  N )
6210, 61impbida 828 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   ` cfv 5418   Basecbs 14174   lecple 14245   Posetcpo 15110   0.cp0 15207   OPcops 32817    <o ccvr 32907   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LLinesclln 33135   LPlanesclpl 33136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-lat 15216  df-clat 15278  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143
This theorem is referenced by:  2lplnmN  33203  2llnmj  33204  lplncvrlvol  33260  2lplnm2N  33265  2lplnmj  33266
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