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Theorem llncvrlpln 34372
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
llncvrlpln.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
llncvrlpln.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
llncvrlpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1035 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 simpll3 1037 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  B )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  N )
4 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  X C Y )
5 llncvrlpln.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 llncvrlpln.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
7 llncvrlpln.n . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
8 llncvrlpln.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 6, 7, 8lplni 34346 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  N )  /\  X C Y )  ->  Y  e.  P
)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1231 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  X  e.  N )  ->  Y  e.  P )
11 simpll1 1035 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  K  e.  HL )
12 simpll2 1036 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  B )
13 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1413, 8lplnneat 34359 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  (
Atoms `  K ) )
1511, 14sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  ( Atoms `  K ) )
16 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X C Y )
17 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( X C Y  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
1816, 17syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  ( 0. `  K ) C Y ) )
19 simpll3 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  Y  e.  B )
20 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
215, 20, 6, 13isat2 34102 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  e.  (
Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2211, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( Y  e.  ( Atoms `  K )  <->  ( 0. `  K ) C Y ) )
2318, 22sylibrd 234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  =  ( 0. `  K )  ->  Y  e.  ( Atoms `  K )
) )
2423necon3bd 2679 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( -.  Y  e.  ( Atoms `  K )  ->  X  =/=  ( 0. `  K ) ) )
2515, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  =/=  ( 0. `  K
) )
267, 8lplnnelln 34360 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N
)
2711, 26sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  Y  e.  N )
285, 6, 13, 7atcvrlln 34334 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( X  e.  ( Atoms `  K )  <->  Y  e.  N ) )
3027, 29mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  -.  X  e.  ( Atoms `  K ) )
31 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
325, 31, 20, 13, 7llnle 34332 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( X  =/=  ( 0. `  K
)  /\  -.  X  e.  ( Atoms `  K )
) )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  E. z  e.  N  z ( le `  K ) X )
34 simpr3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) X )
35 simpll1 1035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
36 hlop 34177 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  OP )
38 simpr2 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  N )
395, 7llnbase 34323 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  N  ->  z  e.  B )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  e.  B )
41 simpll2 1036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  B )
42 simpll3 1037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  B )
43 simpr1 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  Y  e.  P )
445, 31, 6cvrle 34093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( le
`  K ) Y )
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X ( le `  K ) Y )
46 hlpos 34180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4735, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset
)
485, 31postr 15440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( (
z ( le `  K ) X  /\  X ( le `  K ) Y )  ->  z ( le
`  K ) Y ) )
5034, 45, 49mp2and 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z ( le `  K ) Y )
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 34371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  N  /\  Y  e.  P )  /\  z ( le `  K ) Y )  ->  z C Y )
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z C Y )
53 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X C Y )
545, 31, 6cvrcmp2 34099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( z  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( z C Y  /\  X C Y ) )  -> 
( z ( le
`  K ) X  <-> 
z  =  X ) )
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  ( z
( le `  K
) X  <->  z  =  X ) )
5634, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  z  =  X )
5756, 38eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  ( Y  e.  P  /\  z  e.  N  /\  z ( le `  K ) X ) )  ->  X  e.  N )
58573exp2 1214 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( Y  e.  P  ->  ( z  e.  N  ->  ( z ( le `  K
) X  ->  X  e.  N ) ) ) )
5958imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  (
z  e.  N  -> 
( z ( le
`  K ) X  ->  X  e.  N
) ) )
6059rexlimdv 2953 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  ( E. z  e.  N  z ( le `  K ) X  ->  X  e.  N )
)
6133, 60mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  Y  e.  P )  ->  X  e.  N )
6210, 61impbida 830 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( X  e.  N  <->  Y  e.  P
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   Basecbs 14490   lecple 14562   Posetcpo 15427   0.cp0 15524   OPcops 33987    <o ccvr 34077   Atomscatm 34078   HLchlt 34165   LLinesclln 34305   LPlanesclpl 34306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-lat 15533  df-clat 15595  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313
This theorem is referenced by:  2lplnmN  34373  2llnmj  34374  lplncvrlvol  34430  2lplnm2N  34435  2lplnmj  34436
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