Theorem llnbase 35376

Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnbase.b	|- B = ( Base ` K )
llnbase.n	|- N = ( LLines ` K )

Assertion

Ref	Expression
llnbase	|- ( X e. N -> X e. B )

Proof of Theorem llnbase

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3798	. . . 4 |- ( X e. N -> -. N = (/) )
2		llnbase.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
3	2	eqeq1i 2464	. . . 4 |- ( N = (/) <-> ( LLines ` K ) = (/) )
4	1, 3	sylnib 304	. . 3 |- ( X e. N -> -. ( LLines ` K ) = (/) )
5		fvprc 5866	. . 3 |- ( -. K e. _V -> ( LLines ` K ) = (/) )
6	4, 5	nsyl2 127	. 2 |- ( X e. N -> K e. _V )
7		llnbase.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
8		eqid 2457	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
9		eqid 2457	. . . 4 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
10	7, 8, 9, 2	islln 35373	. . 3 |- ( K e. _V -> ( X e. N <-> ( X e. B /\ E. p e. ( Atoms ` K ) p ( <o ` K ) X ) ) )
11	10	simprbda 623	. 2 |- ( ( K e. _V /\ X e. N ) -> X e. B )
12	6, 11	mpancom 669	1 |- ( X e. N -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   Basecbs 14644   <o ccvr 35130   Atomscatm 35131   LLinesclln 35358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-llines 35365

This theorem is referenced by:  islln2  35378  llnnleat  35380  llnneat  35381  atcvrlln2  35386  llnexatN  35388  llncmp  35389  2llnmat  35391  islpln3  35400  llnmlplnN  35406  lplnle  35407  lplnnle2at  35408  llncvrlpln2  35424  llncvrlpln  35425  2llnmj  35427  lplncmp  35429  lplnexatN  35430  lplnexllnN  35431  2llnm2N  35435  2llnm3N  35436  2llnm4  35437  2llnmeqat  35438  dalem21  35561  dalem54  35593  dalem55  35594  dalem57  35596  dalem60  35599  llnexchb2lem  35735  llnexchb2  35736  llnexch2N  35737