Theorem lkrssv 33047

Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrssv.v	|- V = ( Base ` W )
lkrssv.f	|- F = (LFnl ` W )
lkrssv.k	|- K = (LKer ` W )
lkrssv.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lkrssv.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lkrssv	|- ( ph -> ( K ` G ) C_ V )

Proof of Theorem lkrssv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrssv.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lkrssv.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
3		lkrssv.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
4		lkrssv.k	. . . 4 |- K = (LKer ` W )
5		eqid 2451	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
6	3, 4, 5	lkrlss 33046	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lkrssv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
9	8, 5	lssss 17124	. 2 |- ( ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) -> ( K ` G ) C_ V )
10	7, 9	syl 16	1 |- ( ph -> ( K ` G ) C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3426   ` cfv 5516   Basecbs 14276   LModclmod 17054   LSubSpclss 17119  LFnlclfn 33008  LKerclk 33036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-plusg 14353  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-lfl 33009  df-lkr 33037

This theorem is referenced by:  lkrscss  33049  lkrlsp3  33055  lshpkr  33068  lfl1dim  33072  lfl1dim2N  33073  lkrpssN  33114  dochlkr  35336  dochkrsat  35406  dochkrsat2  35407  dochsnkrlem1  35420  dochsnkr  35423  dochfln0  35428  dochkr1  35429  dochkr1OLDN  35430  lcfl4N  35446  lcfl5  35447  lcfl6lem  35449  lcfl6  35451  lcfl9a  35456  lclkrlem2s  35476  lclkrlem2v  35479  lclkrslem1  35488  lclkrslem2  35489  lcfrvalsnN  35492  lcfrlem4  35496  lcfrlem5  35497  lcfrlem6  35498  lcfrlem16  35509  lcfrlem26  35519  lcfrlem36  35529  lcfr  35536  mapdsn  35592  mapdrvallem2  35596  mapd0  35616  hdmaplkr  35867