Theorem lkrssv 33893

Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrssv.v	|- V = ( Base ` W )
lkrssv.f	|- F = (LFnl ` W )
lkrssv.k	|- K = (LKer ` W )
lkrssv.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lkrssv.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lkrssv	|- ( ph -> ( K ` G ) C_ V )

Proof of Theorem lkrssv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrssv.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lkrssv.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
3		lkrssv.f	. . . 4 |- F = (LFnl ` W )
4		lkrssv.k	. . . 4 |- K = (LKer ` W )
5		eqid 2467	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
6	3, 4, 5	lkrlss 33892	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) )
8		lkrssv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
9	8, 5	lssss 17366	. 2 |- ( ( K ` G ) e. ( LSubSp ` W ) -> ( K ` G ) C_ V )
10	7, 9	syl 16	1 |- ( ph -> ( K ` G ) C_ V )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3476   ` cfv 5586   Basecbs 14486   LModclmod 17295   LSubSpclss 17361  LFnlclfn 33854  LKerclk 33882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-lfl 33855  df-lkr 33883

This theorem is referenced by:  lkrscss  33895  lkrlsp3  33901  lshpkr  33914  lfl1dim  33918  lfl1dim2N  33919  lkrpssN  33960  dochlkr  36182  dochkrsat  36252  dochkrsat2  36253  dochsnkrlem1  36266  dochsnkr  36269  dochfln0  36274  dochkr1  36275  dochkr1OLDN  36276  lcfl4N  36292  lcfl5  36293  lcfl6lem  36295  lcfl6  36297  lcfl9a  36302  lclkrlem2s  36322  lclkrlem2v  36325  lclkrslem1  36334  lclkrslem2  36335  lcfrvalsnN  36338  lcfrlem4  36342  lcfrlem5  36343  lcfrlem6  36344  lcfrlem16  36355  lcfrlem26  36365  lcfrlem36  36375  lcfr  36382  mapdsn  36438  mapdrvallem2  36442  mapd0  36462  hdmaplkr  36713