Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss Structured version   Unicode version

Theorem lkrss 33176
Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lkrss.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lkrss.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrss.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrss.d  |-  D  =  (LDual `  W )
lkrss.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lkrss.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrss.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrss.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lkrss  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( X  .x.  G
) ) )

Proof of Theorem lkrss
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lkrss.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 lkrss.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 lkrss.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 lkrss.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
7 lkrss.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 lkrss.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
9 lkrss.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lkrscss 33106 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( G  oF ( .r `  R
) ( ( Base `  W )  X.  { X } ) ) ) )
11 lkrss.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 lkrss.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
135, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 9, 8ldualvs 33145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  G
)  =  ( G  oF ( .r
`  R ) ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
1413fveq2d 5806 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  ( X  .x.  G ) )  =  ( L `  ( G  oF
( .r `  R
) ( ( Base `  W )  X.  { X } ) ) ) )
1510, 14sseqtr4d 3504 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( X  .x.  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   {csn 3988    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Basecbs 14296   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   LVecclvec 17316  LFnlclfn 33065  LKerclk 33093  LDualcld 33131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lvec 17317  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132
This theorem is referenced by:  lkrss2N  33177  lkreqN  33178  lclkrslem1  35545  lcfrlem2  35551
  Copyright terms: Public domain W3C validator