Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrss Structured version   Unicode version

Theorem lkrss 32150
Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrss.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
lkrss.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
lkrss.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrss.l  |-  L  =  (LKer `  W )
lkrss.d  |-  D  =  (LDual `  W )
lkrss.s  |-  .x.  =  ( .s `  D )
lkrss.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrss.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
lkrss.x  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lkrss  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( X  .x.  G
) ) )

Proof of Theorem lkrss
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lkrss.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  W )
3 lkrss.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2400 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 lkrss.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  W )
6 lkrss.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  W )
7 lkrss.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 lkrss.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
9 lkrss.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  K )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lkrscss 32080 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( G  oF ( .r `  R
) ( ( Base `  W )  X.  { X } ) ) ) )
11 lkrss.d . . . 4  |-  D  =  (LDual `  W )
12 lkrss.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  D )
135, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 9, 8ldualvs 32119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  G
)  =  ( G  oF ( .r
`  R ) ( ( Base `  W
)  X.  { X } ) ) )
1413fveq2d 5807 . 2  |-  ( ph  ->  ( L `  ( X  .x.  G ) )  =  ( L `  ( G  oF
( .r `  R
) ( ( Base `  W )  X.  { X } ) ) ) )
1510, 14sseqtr4d 3476 1  |-  ( ph  ->  ( L `  G
)  C_  ( L `  ( X  .x.  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840    C_ wss 3411   {csn 3969    X. cxp 4938   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    oFcof 6473   Basecbs 14731   .rcmulr 14800  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   LVecclvec 17958  LFnlclfn 32039  LKerclk 32067  LDualcld 32105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-drng 17608  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lvec 17959  df-lfl 32040  df-lkr 32068  df-ldual 32106
This theorem is referenced by:  lkrss2N  32151  lkreqN  32152  lclkrslem1  34521  lcfrlem2  34527
  Copyright terms: Public domain W3C validator