Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshpor Structured version   Unicode version

Theorem lkrshpor 35245
Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshpor.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshpor.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshpor.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshpor.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshpor.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshpor.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshpor  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )

Proof of Theorem lkrshpor
StepHypRef Expression
1 lkrshpor.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17865 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lkrshpor.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 eqid 2382 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
7 lkrshpor.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lkrshpor.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrshpor.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9lkr0f 35232 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
113, 4, 10syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
1211biimpar 483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  =  V )
1312olcd 391 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
141adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
154adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  e.  F )
16 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
17 lkrshpor.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
187, 5, 6, 17, 8, 9lkrshp 35243 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2019orcd 390 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
2113, 20pm2.61dane 2700 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {csn 3944    X. cxp 4911   ` cfv 5496   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   0gc0g 14847   LModclmod 17625   LVecclvec 17861  LSHypclsh 35113  LFnlclfn 35195  LKerclk 35223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862  df-lshyp 35115  df-lfl 35196  df-lkr 35224
This theorem is referenced by:  lkrshp4  35246  lkrpssN  35301  dochlkr  37525  dochkrshp  37526  lclkrlem2e  37651  lclkrlem2h  37654  lclkrlem2s  37665
  Copyright terms: Public domain W3C validator