Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshpor Structured version   Unicode version

Theorem lkrshpor 34707
Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshpor.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshpor.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshpor.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshpor.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshpor.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshpor.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshpor  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )

Proof of Theorem lkrshpor
StepHypRef Expression
1 lkrshpor.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17731 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lkrshpor.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
7 lkrshpor.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lkrshpor.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrshpor.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9lkr0f 34694 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
113, 4, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
1211biimpar 485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  =  V )
1312olcd 393 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
141adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
154adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  e.  F )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
17 lkrshpor.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
187, 5, 6, 17, 8, 9lkrshp 34705 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1229 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2019orcd 392 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
2113, 20pm2.61dane 2761 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {csn 4014    X. cxp 4987   ` cfv 5578   Basecbs 14614  Scalarcsca 14682   0gc0g 14819   LModclmod 17491   LVecclvec 17727  LSHypclsh 34575  LFnlclfn 34657  LKerclk 34685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-lvec 17728  df-lshyp 34577  df-lfl 34658  df-lkr 34686
This theorem is referenced by:  lkrshp4  34708  lkrpssN  34763  dochlkr  36987  dochkrshp  36988  lclkrlem2e  37113  lclkrlem2h  37116  lclkrlem2s  37127
  Copyright terms: Public domain W3C validator