Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshpor Structured version   Unicode version

Theorem lkrshpor 33781
Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshpor.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshpor.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshpor.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshpor.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshpor.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshpor.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshpor  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )

Proof of Theorem lkrshpor
StepHypRef Expression
1 lkrshpor.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17530 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lkrshpor.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
5 eqid 2462 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
6 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
7 lkrshpor.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lkrshpor.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
9 lkrshpor.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
105, 6, 7, 8, 9lkr0f 33768 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )
113, 4, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  W )
) } ) ) )
1211biimpar 485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  =  V )
1312olcd 393 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
141adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  W  e.  LVec )
154adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  e.  F )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )
17 lkrshpor.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
187, 5, 6, 17, 8, 9lkrshp 33779 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
1914, 15, 16, 18syl3anc 1223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2019orcd 392 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) )  ->  (
( K `  G
)  e.  H  \/  ( K `  G )  =  V ) )
2113, 20pm2.61dane 2780 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   {csn 4022    X. cxp 4992   ` cfv 5581   Basecbs 14481  Scalarcsca 14549   0gc0g 14686   LModclmod 17290   LVecclvec 17526  LSHypclsh 33649  LFnlclfn 33731  LKerclk 33759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-lsm 16447  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-drng 17176  df-lmod 17292  df-lss 17357  df-lsp 17396  df-lvec 17527  df-lshyp 33651  df-lfl 33732  df-lkr 33760
This theorem is referenced by:  lkrshp4  33782  lkrpssN  33837  dochlkr  36059  dochkrshp  36060  lclkrlem2e  36185  lclkrlem2h  36188  lclkrlem2s  36199
  Copyright terms: Public domain W3C validator