Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp4 Structured version   Unicode version

Theorem lkrshp4 32394
Description: A kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp4.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp4.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp4.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshp4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshp4.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshp4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )

Proof of Theorem lkrshp4
StepHypRef Expression
1 lkrshp4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lkrshp4.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lkrshp4.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
4 lkrshp4.k . . . . 5  |-  K  =  (LKer `  W )
5 lkrshp4.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lkrshp4.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6lkrshpor 32393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
87orcomd 389 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H
) )
9 neor 2755 . . 3  |-  ( ( ( K `  G
)  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H )  <->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G )  e.  H
) )
108, 9sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G
)  e.  H ) )
11 lveclmod 18268 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
125, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  W  e.  LMod )
14 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  e.  H
)
151, 2, 13, 14lshpne 32268 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  =/=  V
)
1615ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  ->  ( K `  G
)  =/=  V ) )
1710, 16impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   ` cfv 5601   Basecbs 15084   LModclmod 18030   LVecclvec 18264  LSHypclsh 32261  LFnlclfn 32343  LKerclk 32371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-0g 15303  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-submnd 16538  df-grp 16628  df-minusg 16629  df-sbg 16630  df-subg 16769  df-cntz 16926  df-lsm 17227  df-cmn 17371  df-abl 17372  df-mgp 17663  df-ur 17675  df-ring 17721  df-oppr 17790  df-dvdsr 17808  df-unit 17809  df-invr 17839  df-drng 17916  df-lmod 18032  df-lss 18095  df-lsp 18134  df-lvec 18265  df-lshyp 32263  df-lfl 32344  df-lkr 32372
This theorem is referenced by:  lkrpssN  32449  dochkrshp3  34676  lcfl9a  34793
  Copyright terms: Public domain W3C validator