Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp4 Structured version   Unicode version

Theorem lkrshp4 33923
Description: A kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp4.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp4.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp4.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshp4.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshp4.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshp4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )

Proof of Theorem lkrshp4
StepHypRef Expression
1 lkrshp4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lkrshp4.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lkrshp4.f . . . . 5  |-  F  =  (LFnl `  W )
4 lkrshp4.k . . . . 5  |-  K  =  (LKer `  W )
5 lkrshp4.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lkrshp4.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
71, 2, 3, 4, 5, 6lkrshpor 33922 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  \/  ( K `  G
)  =  V ) )
87orcomd 388 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H
) )
9 neor 2791 . . 3  |-  ( ( ( K `  G
)  =  V  \/  ( K `  G )  e.  H )  <->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G )  e.  H
) )
108, 9sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  ->  ( K `  G
)  e.  H ) )
11 lveclmod 17552 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
125, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  W  e.  LMod )
14 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  e.  H
)
151, 2, 13, 14lshpne 33797 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  =/=  V
)
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  ->  ( K `  G
)  =/=  V ) )
1710, 16impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  ( K `  G )  e.  H ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588   Basecbs 14490   LModclmod 17312   LVecclvec 17548  LSHypclsh 33790  LFnlclfn 33872  LKerclk 33900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lshyp 33792  df-lfl 33873  df-lkr 33901
This theorem is referenced by:  lkrpssN  33978  dochkrshp3  36203  lcfl9a  36320
  Copyright terms: Public domain W3C validator