Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Unicode version

Theorem lkrshp3 32756
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp3.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrshp3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrshp3.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshp3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshp3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshp3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lkrshp3.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lkrshp3.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17192 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  W  e.  LMod )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  e.  H
)
81, 2, 6, 7lshpne 32632 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  =/=  V
)
9 lkrshp3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 lkrshp3.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lkrshp3.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
12 lkrshp3.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  W )
13 lkrshp3.k . . . . . . 7  |-  K  =  (LKer `  W )
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 32744 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
155, 9, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( ( K `  G )  =  V  <->  G  =  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
1716necon3bid 2648 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
188, 17mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )
193adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LVec )
209adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  e.  F )
21 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 32755 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  e.  H )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1218 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2418, 23impbida 828 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {csn 3882    X. cxp 4843   ` cfv 5423   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   0gc0g 14383   LModclmod 16953   LVecclvec 17188  LSHypclsh 32625  LFnlclfn 32707  LKerclk 32735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-lshyp 32627  df-lfl 32708  df-lkr 32736
This theorem is referenced by:  lshpset2N  32769  lduallkr3  32812
  Copyright terms: Public domain W3C validator