Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Unicode version

Theorem lkrshp3 34974
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp3.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrshp3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrshp3.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
lkrshp3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lkrshp3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
Assertion
Ref Expression
lkrshp3  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lkrshp3.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
3 lkrshp3.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 17879 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  W  e.  LMod )
7 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  e.  H
)
81, 2, 6, 7lshpne 34850 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( K `  G )  =/=  V
)
9 lkrshp3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 lkrshp3.d . . . . . . 7  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lkrshp3.o . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
12 lkrshp3.f . . . . . . 7  |-  F  =  (LFnl `  W )
13 lkrshp3.k . . . . . . 7  |-  K  =  (LKer `  W )
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 34962 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
155, 9, 14syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( ( K `  G )  =  V  <->  G  =  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
1716necon3bid 2715 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  ( ( K `  G )  =/=  V  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
188, 17mpbid 210 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K `  G )  e.  H
)  ->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )
193adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LVec )
209adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  e.  F )
21 simpr 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 34973 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  e.  H )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( K `  G )  e.  H )
2418, 23impbida 832 1  |-  ( ph  ->  ( ( K `  G )  e.  H  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {csn 4032    X. cxp 5006   ` cfv 5594   Basecbs 14644  Scalarcsca 14715   0gc0g 14857   LModclmod 17639   LVecclvec 17875  LSHypclsh 34843  LFnlclfn 34925  LKerclk 34953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876  df-lshyp 34845  df-lfl 34926  df-lkr 34954
This theorem is referenced by:  lshpset2N  34987  lduallkr3  35030
  Copyright terms: Public domain W3C validator