Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp Structured version   Unicode version

Theorem lkrshp 32583
Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrshp.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrshp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrshp.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lkrshp.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrshp.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrshp  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  e.  H )

Proof of Theorem lkrshp
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 18272 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
213ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  e.  F )
4 lkrshp.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 lkrshp.k . . . 4  |-  K  =  (LKer `  W )
6 eqid 2428 . . . 4  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
74, 5, 6lkrlss 32573 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
82, 3, 7syl2anc 665 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )
10 lkrshp.d . . . . . 6  |-  D  =  (Scalar `  W )
11 lkrshp.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
12 lkrshp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
1310, 11, 12, 4, 5lkr0f 32572 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
( K `  G
)  =  V  <->  G  =  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
142, 3, 13syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( K `  G )  =  V  <-> 
G  =  ( V  X.  {  .0.  }
) ) )
1514necon3bid 2645 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( K `  G )  =/=  V  <->  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) ) )
169, 15mpbird 235 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  =/=  V )
17 eqid 2428 . . . 4  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
1810, 11, 17, 12, 4lfl1 32548 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  E. v  e.  V  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )
19 simp11 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  W  e.  LVec )
20 simp2 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  v  e.  V
)
21 simp12 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  G  e.  F
)
22 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )
2310lvecdrng 18271 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
2411, 17drngunz 17933 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  DivRing  ->  ( 1r `  D )  =/=  .0.  )
2519, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( 1r `  D )  =/=  .0.  )
2622, 25eqnetrd 2668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( G `  v )  =/=  .0.  )
27 simpl11 1080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )  /\  v  e.  ( K `  G ) )  ->  W  e.  LVec )
28 simpl12 1081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )  /\  v  e.  ( K `  G ) )  ->  G  e.  F )
29 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )  /\  v  e.  ( K `  G ) )  -> 
v  e.  ( K `
 G ) )
3010, 11, 4, 5lkrf0 32571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  v  e.  ( K `  G
) )  ->  ( G `  v )  =  .0.  )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  }
) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v )  =  ( 1r `  D ) )  /\  v  e.  ( K `  G ) )  -> 
( G `  v
)  =  .0.  )
3231ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( v  e.  ( K `  G
)  ->  ( G `  v )  =  .0.  ) )
3332necon3ad 2614 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( ( G `
 v )  =/= 
.0.  ->  -.  v  e.  ( K `  G ) ) )
3426, 33mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  -.  v  e.  ( K `  G ) )
35 eqid 2428 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
3612, 35, 4, 5lkrlsp3 32582 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  (
v  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  v  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( K `  G )  u.  {
v } ) )  =  V )
3719, 20, 21, 34, 36syl121anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V  /\  ( G `  v
)  =  ( 1r
`  D ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  (
( K `  G
)  u.  { v } ) )  =  V )
38373expia 1207 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( ( G `  v )  =  ( 1r `  D )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ( K `  G )  u.  {
v } ) )  =  V ) )
3938reximdva 2839 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( E. v  e.  V  ( G `  v )  =  ( 1r `  D )  ->  E. v  e.  V  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( K `  G )  u.  { v } ) )  =  V ) )
4018, 39mpd 15 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  ->  E. v  e.  V  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( K `  G )  u.  { v } ) )  =  V )
41 lkrshp.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
4212, 35, 6, 41islshp 32457 . . 3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( ( K `  G )  e.  H  <->  ( ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( K `  G
)  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( K `  G )  u.  {
v } ) )  =  V ) ) )
43423ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( K `  G )  e.  H  <->  ( ( K `  G
)  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( K `  G )  =/=  V  /\  E. v  e.  V  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( K `  G )  u.  {
v } ) )  =  V ) ) )
448, 16, 40, 43mpbir3and 1188 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  G  =/=  ( V  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( K `  G
)  e.  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   E.wrex 2715    u. cun 3377   {csn 3941    X. cxp 4794   ` cfv 5544   Basecbs 15064  Scalarcsca 15136   0gc0g 15281   1rcur 17678   DivRingcdr 17918   LModclmod 18034   LSubSpclss 18098   LSpanclspn 18137   LVecclvec 18268  LSHypclsh 32453  LFnlclfn 32535  LKerclk 32563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-sbg 16618  df-subg 16757  df-cntz 16914  df-lsm 17231  df-cmn 17375  df-abl 17376  df-mgp 17667  df-ur 17679  df-ring 17725  df-oppr 17794  df-dvdsr 17812  df-unit 17813  df-invr 17843  df-drng 17920  df-lmod 18036  df-lss 18099  df-lsp 18138  df-lvec 18269  df-lshyp 32455  df-lfl 32536  df-lkr 32564
This theorem is referenced by:  lkrshp3  32584  lkrshpor  32585  lshpset2N  32597  lfl1dim  32599  lfl1dim2N  32600  hdmaplkr  35396
  Copyright terms: Public domain W3C validator