Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Unicode version

Theorem lkrlsp3 35226
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrlsp3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lkrlsp3.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrlsp3.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  V )

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 17947 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
213ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simp2r 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  G  e.  F )
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (LKer `  W )
6 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
74, 5, 6lkrlss 35217 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
82, 3, 7syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( K `  G )  e.  (
LSubSp `  W ) )
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
106, 9lspid 17823 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( N `  ( K `  G
) )  =  ( K `  G ) )
112, 8, 10syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( K `  G
) )  =  ( K `  G ) )
1211uneq1d 3643 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( N `  ( K `  G ) )  u.  ( N `  { X } ) )  =  ( ( K `  G )  u.  ( N `  { X } ) ) )
1312fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( N `  ( K `  G ) )  u.  ( N `
 { X }
) ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
14 lkrlsp3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 35218 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( K `  G )  C_  V
)
16 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  X  e.  V )
1716snssd 4161 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  { X }  C_  V )
1814, 9lspun 17828 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  C_  V  /\  { X }  C_  V )  -> 
( N `  (
( K `  G
)  u.  { X } ) )  =  ( N `  (
( N `  ( K `  G )
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
192, 15, 17, 18syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  ( N `  (
( N `  ( K `  G )
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
2014, 6, 9lspsncl 17818 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
212, 16, 20syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
22 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
236, 9, 22lsmsp 17927 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( K `
 G ) (
LSSum `  W ) ( N `  { X } ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
242, 8, 21, 23syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )
( LSSum `  W )
( N `  { X } ) )  =  ( N `  (
( K `  G
)  u.  ( N `
 { X }
) ) ) )
2513, 19, 243eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  ( ( K `  G ) ( LSSum `  W ) ( N `
 { X }
) ) )
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 35225 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( ( K `  G )
( LSSum `  W )
( N `  { X } ) )  =  V )
2725, 26eqtrd 2495 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  -.  X  e.  ( K `  G ) )  ->  ( N `  ( ( K `  G )  u.  { X } ) )  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   LSSumclsm 16853   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812   LVecclvec 17943  LFnlclfn 35179  LKerclk 35207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lfl 35180  df-lkr 35208
This theorem is referenced by:  lkrshp  35227
  Copyright terms: Public domain W3C validator