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Theorem lkrlsp 32759
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 32746) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrlsp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrlsp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrlsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lkrlsp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lkrlsp.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrlsp.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrlsp  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  =  V )

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 17199 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
213ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  W  e.  LMod )
3 simp2r 1015 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  G  e.  F )
4 lkrlsp.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 lkrlsp.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
74, 5, 6lkrlss 32752 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
82, 3, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( K `  G
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
10 lkrlsp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lkrlsp.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 6, 11lspsncl 17070 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
132, 9, 12syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
14 lkrlsp.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
156, 14lsmcl 17176 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( K `
 G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
162, 8, 13, 15syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1710, 6lssss 17030 . . 3  |-  ( ( ( K `  G
)  .(+)  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  V )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  C_  V
)
19 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
2019, 1syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
21 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  u  e.  V )
22 lkrlsp.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
2322lmodrng 16968 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
25 simpl2r 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  G  e.  F )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
2722, 26, 10, 4lflcl 32721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )
2819, 25, 21, 27syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  u )  e.  (
Base `  D )
)
2922lvecdrng 17198 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  DivRing )
31 simpl2l 1041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  X  e.  V )
3222, 26, 10, 4lflcl 32721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
3319, 25, 31, 32syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
34 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
35 lkrlsp.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( invr `  D )  =  (
invr `  D )
3726, 35, 36drnginvrcl 16861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
)  e.  ( Base `  D ) )
3830, 33, 34, 37syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  D ) )
39 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
4026, 39rngcl 16670 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  D ) )  -> 
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) )  e.  ( Base `  D
) )
4124, 28, 38, 40syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) )  e.  (
Base `  D )
)
42 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 16977 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )
4420, 41, 31, 43syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X )  e.  V
)
45 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
46 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
4710, 45, 46lmodvnpcan 17011 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  u  e.  V  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )  ->  (
( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  u )
4820, 21, 44, 47syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  =  u )
496lsssssubg 17051 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
5020, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
518adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( K `  G )  e.  (
LSubSp `  W ) )
5250, 51sseldd 3369 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( K `  G )  e.  (SubGrp `  W ) )
5313adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
5450, 53sseldd 3369 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W
) )
5510, 46lmodvsubcl 17002 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  u  e.  V  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )  ->  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  V
)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  V )
57 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 32724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
u  e.  V  /\  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V ) )  -> 
( G `  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) )  =  ( ( G `  u ) ( -g `  D ) ( G `
 ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ) )
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) )  =  ( ( G `
 u ) (
-g `  D )
( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) ) )
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 32725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  X  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )
6226, 39rngass 16673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  (
( G `  u
)  e.  ( Base `  D )  /\  (
( invr `  D ) `  ( G `  X
) )  e.  (
Base `  D )  /\  ( G `  X
)  e.  ( Base `  D ) ) )  ->  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) ) )
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  D ) ( G `  X
) ) ) )
64 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 16863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( 1r
`  D ) )
6630, 33, 34, 65syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( 1r
`  D ) )
6766oveq2d 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )  =  ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( 1r
`  D ) ) )
6826, 39, 64rngridm 16681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( 1r
`  D ) )  =  ( G `  u ) )
6924, 28, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( 1r `  D ) )  =  ( G `  u
) )
7067, 69eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )  =  ( G `  u ) )
7161, 63, 703eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( G `  u ) )
7271oveq2d 6119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( -g `  D ) ( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) )  =  ( ( G `  u ) ( -g `  D
) ( G `  u ) ) )
7322lmodfgrp 16969 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
7420, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
7526, 35, 57grpsubid 15622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  u
) ( -g `  D
) ( G `  u ) )  =  .0.  )
7674, 28, 75syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( -g `  D ) ( G `  u
) )  =  .0.  )
7759, 72, 763eqtrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) )  =  .0.  )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 32746 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( K `  G
)  <->  ( ( u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  V  /\  ( G `  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) )  =  .0.  ) ) )
7919, 25, 78syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  ( K `  G )  <-> 
( ( u (
-g `  W )
( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  V  /\  ( G `  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) )  =  .0.  )
) )
8056, 77, 79mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  ( K `  G ) )
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 17094 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X )  e.  ( N `  { X } ) )
8245, 14lsmelvali 16161 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K `  G )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( ( u (
-g `  W )
( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  ( K `  G )  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8448, 83eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  u  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8584ex 434 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( u  e.  V  ->  u  e.  ( ( K `  G ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
8685ssrdv 3374 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  V  C_  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
8718, 86eqssd 3385 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618    C_ wss 3340   {csn 3889   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   0gc0g 14390   Grpcgrp 15422   -gcsg 15425  SubGrpcsubg 15687   LSSumclsm 16145   1rcur 16615   Ringcrg 16657   invrcinvr 16775   DivRingcdr 16844   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LSpanclspn 17064   LVecclvec 17195  LFnlclfn 32714  LKerclk 32742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-0g 14392  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lvec 17196  df-lfl 32715  df-lkr 32743
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