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Theorem lkrlsp 35240
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 35227) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lkrlsp.o  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
lkrlsp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lkrlsp.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lkrlsp.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lkrlsp.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
lkrlsp.k  |-  K  =  (LKer `  W )
Assertion
Ref Expression
lkrlsp  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  =  V )

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 17865 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
213ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  W  e.  LMod )
3 simp2r 1021 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  G  e.  F )
4 lkrlsp.f . . . . . 6  |-  F  =  (LFnl `  W )
5 lkrlsp.k . . . . . 6  |-  K  =  (LKer `  W )
6 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
74, 5, 6lkrlss 35233 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )
)
82, 3, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( K `  G
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
9 simp2l 1020 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
10 lkrlsp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lkrlsp.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 6, 11lspsncl 17736 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
132, 9, 12syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
14 lkrlsp.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
156, 14lsmcl 17842 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  G )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  W ) )  ->  ( ( K `
 G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  W )
)
162, 8, 13, 15syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
1710, 6lssss 17696 . . 3  |-  ( ( ( K `  G
)  .(+)  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  V )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  C_  V
)
19 simpl1 997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  W  e.  LVec )
2019, 1syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  W  e.  LMod )
21 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  u  e.  V )
22 lkrlsp.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  (Scalar `  W )
2322lmodring 17633 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Ring )
2420, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  Ring )
25 simpl2r 1048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  G  e.  F )
26 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
2722, 26, 10, 4lflcl 35202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  u  e.  V )  ->  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )
2819, 25, 21, 27syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  u )  e.  (
Base `  D )
)
2922lvecdrng 17864 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  D  e.  DivRing )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  DivRing )
31 simpl2l 1047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  X  e.  V )
3222, 26, 10, 4lflcl 35202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F  /\  X  e.  V )  ->  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
) )
3319, 25, 31, 32syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  X )  e.  (
Base `  D )
)
34 simpl3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  X )  =/=  .0.  )
35 lkrlsp.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  D )
36 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( invr `  D )  =  (
invr `  D )
3726, 35, 36drnginvrcl 17526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
)  e.  ( Base `  D ) )
3830, 33, 34, 37syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  D ) )
39 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  D )  =  ( .r `  D
)
4026, 39ringcl 17325 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( ( invr `  D ) `  ( G `  X ) )  e.  ( Base `  D ) )  -> 
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) )  e.  ( Base `  D
) )
4124, 28, 38, 40syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) )  e.  (
Base `  D )
)
42 eqid 2382 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 17642 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )
4420, 41, 31, 43syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X )  e.  V
)
45 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
46 eqid 2382 . . . . . . 7  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
4710, 45, 46lmodvnpcan 17677 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  u  e.  V  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )  ->  (
( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  u )
4820, 21, 44, 47syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  =  u )
496lsssssubg 17717 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
5020, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
518adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( K `  G )  e.  (
LSubSp `  W ) )
5250, 51sseldd 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( K `  G )  e.  (SubGrp `  W ) )
5313adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  W
) )
5450, 53sseldd 3418 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W
) )
5510, 46lmodvsubcl 17668 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  u  e.  V  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V )  ->  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  V
)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  V )
57 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( -g `  D )  =  (
-g `  D )
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 35205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
u  e.  V  /\  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  V ) )  -> 
( G `  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) )  =  ( ( G `  u ) ( -g `  D ) ( G `
 ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ) )
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) )  =  ( ( G `
 u ) (
-g `  D )
( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) ) )
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 35206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  G  e.  F  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) )  e.  ( Base `  D
)  /\  X  e.  V ) )  -> 
( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )
6226, 39ringass 17328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  (
( G `  u
)  e.  ( Base `  D )  /\  (
( invr `  D ) `  ( G `  X
) )  e.  (
Base `  D )  /\  ( G `  X
)  e.  ( Base `  D ) ) )  ->  ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) ) )
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .r `  D ) ( G `  X
) )  =  ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ( .r `  D ) ( G `  X
) ) ) )
64 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  D )  =  ( 1r `  D
)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 17528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  DivRing  /\  ( G `  X )  e.  ( Base `  D
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  ->  ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( 1r
`  D ) )
6630, 33, 34, 65syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) )  =  ( 1r
`  D ) )
6766oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )  =  ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( 1r
`  D ) ) )
6826, 39, 64ringridm 17336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  Ring  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( 1r
`  D ) )  =  ( G `  u ) )
6924, 28, 68syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( 1r `  D ) )  =  ( G `  u
) )
7067, 69eqtrd 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( .r `  D
) ( ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ( .r
`  D ) ( G `  X ) ) )  =  ( G `  u ) )
7161, 63, 703eqtrd 2427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  =  ( G `  u ) )
7271oveq2d 6212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( -g `  D ) ( G `  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) )  =  ( ( G `  u ) ( -g `  D
) ( G `  u ) ) )
7322lmodfgrp 17634 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  D  e. 
Grp )
7420, 73syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  D  e.  Grp )
7526, 35, 57grpsubid 16239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  Grp  /\  ( G `  u )  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( G `  u
) ( -g `  D
) ( G `  u ) )  =  .0.  )
7674, 28, 75syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( ( G `  u )
( -g `  D ) ( G `  u
) )  =  .0.  )
7759, 72, 763eqtrd 2427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( G `  ( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) ) )  =  .0.  )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 35227 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  G  e.  F )  ->  (
( u ( -g `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( K `  G
)  <->  ( ( u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  V  /\  ( G `  (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) )  =  .0.  ) ) )
7919, 25, 78syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) )  e.  ( K `  G )  <-> 
( ( u (
-g `  W )
( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  V  /\  ( G `  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) ) )  =  .0.  )
) )
8056, 77, 79mpbir2and 920 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( u
( -g `  W ) ( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  ( K `  G ) )
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 17760 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X )  e.  ( N `  { X } ) )
8245, 14lsmelvali 16787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K `  G )  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  /\  ( ( u (
-g `  W )
( ( ( G `
 u ) ( .r `  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X ) )  e.  ( K `  G )  /\  (
( ( G `  u ) ( .r
`  D ) ( ( invr `  D
) `  ( G `  X ) ) ) ( .s `  W
) X )  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  ( (
u ( -g `  W
) ( ( ( G `  u ) ( .r `  D
) ( ( invr `  D ) `  ( G `  X )
) ) ( .s
`  W ) X ) ) ( +g  `  W ) ( ( ( G `  u
) ( .r `  D ) ( (
invr `  D ) `  ( G `  X
) ) ) ( .s `  W ) X ) )  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8448, 83eqeltrrd 2471 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F
)  /\  ( G `  X )  =/=  .0.  )  /\  u  e.  V
)  ->  u  e.  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8584ex 432 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( u  e.  V  ->  u  e.  ( ( K `  G ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
8685ssrdv 3423 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  V  C_  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
8718, 86eqssd 3434 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( X  e.  V  /\  G  e.  F )  /\  ( G `  X
)  =/=  .0.  )  ->  ( ( K `  G )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  =  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577    C_ wss 3389   {csn 3944   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   .rcmulr 14703  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   -gcsg 16172  SubGrpcsubg 16312   LSSumclsm 16771   1rcur 17266   Ringcrg 17311   invrcinvr 17433   DivRingcdr 17509   LModclmod 17625   LSubSpclss 17691   LSpanclspn 17730   LVecclvec 17861  LFnlclfn 35195  LKerclk 35223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-tpos 6873  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-lsm 16773  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-oppr 17385  df-dvdsr 17403  df-unit 17404  df-invr 17434  df-drng 17511  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-lsp 17731  df-lvec 17862  df-lfl 35196  df-lkr 35224
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