Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linevalexample Structured version   Unicode version

Theorem linevalexample 33269
Description: The polynomial  x  - 
3 over  ZZ evaluated for  x  =  5 results in 2. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linevalexample.p  |-  P  =  (Poly1 ` ring )
linevalexample.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
linevalexample.x  |-  X  =  (var1 ` ring )
linevalexample.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
linevalexample.a  |-  A  =  (algSc `  P )
linevalexample.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  3 )
)
linevalexample.o  |-  O  =  (eval1 ` ring )
Assertion
Ref Expression
linevalexample  |-  ( ( O `  ( X 
.-  ( A ` 
3 ) ) ) `
 5 )  =  2

Proof of Theorem linevalexample
StepHypRef Expression
1 zringcrng 18688 . . 3  |-ring  e.  CRing
2 linevalexample.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 ` ring )
3 linevalexample.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 zringbas 18692 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
5 linevalexample.x . . . 4  |-  X  =  (var1 ` ring )
6 linevalexample.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
7 linevalexample.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( X 
.-  ( A ` 
3 ) )  =  ( X  .-  ( A `  3 )
)
9 3z 10893 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
109a1i 11 . . . 4  |-  (ring  e.  CRing  -> 
3  e.  ZZ )
11 linevalexample.o . . . 4  |-  O  =  (eval1 ` ring )
12 id 22 . . . 4  |-  (ring  e.  CRing  ->ring  e.  CRing
)
13 5nn0 10811 . . . . . 6  |-  5  e.  NN0
1413nn0zi 10885 . . . . 5  |-  5  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  (ring  e.  CRing  -> 
5  e.  ZZ )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 15lineval 33267 . . 3  |-  (ring  e.  CRing  -> 
( ( O `  ( X  .-  ( A `
 3 ) ) ) `  5 )  =  ( 5 (
-g ` ring ) 3 ) )
171, 16ax-mp 5 . 2  |-  ( ( O `  ( X 
.-  ( A ` 
3 ) ) ) `
 5 )  =  ( 5 ( -g ` ring ) 3 )
18 eqid 2454 . . . 4  |-  ( -g ` ring )  =  ( -g ` ring )
1918zringsubgval 33268 . . 3  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 5  -  3 )  =  ( 5 ( -g ` ring ) 3 ) )
2014, 9, 19mp2an 670 . 2  |-  ( 5  -  3 )  =  ( 5 ( -g ` ring ) 3 )
21 5cn 10611 . . 3  |-  5  e.  CC
22 3cn 10606 . . 3  |-  3  e.  CC
23 2cn 10602 . . 3  |-  2  e.  CC
24 3p2e5 10664 . . 3  |-  ( 3  +  2 )  =  5
2521, 22, 23, 24subaddrii 9900 . 2  |-  ( 5  -  3 )  =  2
2617, 20, 253eqtr2i 2489 1  |-  ( ( O `  ( X 
.-  ( A ` 
3 ) ) ) `
 5 )  =  2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    - cmin 9796   2c2 10581   3c3 10582   5c5 10584   ZZcz 10860   Basecbs 14719   -gcsg 16257   CRingccrg 17397  algSccascl 18158  var1cv1 18413  Poly1cpl1 18414  eval1ce1 18549  ℤringzring 18686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mhm 16168  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-ghm 16467  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-srg 17356  df-ring 17398  df-cring 17399  df-rnghom 17562  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-assa 18159  df-asp 18160  df-ascl 18161  df-psr 18203  df-mvr 18204  df-mpl 18205  df-opsr 18207  df-evls 18369  df-evl 18370  df-psr1 18417  df-vr1 18418  df-ply1 18419  df-evl1 18551  df-cnfld 18619  df-zring 18687
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator