Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lineval Structured version   Unicode version

Theorem lineval 31003
Description: A term of the form  x  -  C evaluated for  x  =  V results in  V  -  C (part of ply1remlem 21760). (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linply1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
linply1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
linply1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
linply1.x  |-  X  =  (var1 `  R )
linply1.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
linply1.a  |-  A  =  (algSc `  P )
linply1.g  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  C )
)
linply1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lineval.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
lineval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
lineval.v  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
Assertion
Ref Expression
lineval  |-  ( ph  ->  ( ( O `  G ) `  V
)  =  ( V ( -g `  R
) C ) )

Proof of Theorem lineval
StepHypRef Expression
1 linply1.g . . . 4  |-  G  =  ( X  .-  ( A `  C )
)
21fveq2i 5795 . . 3  |-  ( O `
 G )  =  ( O `  ( X  .-  ( A `  C ) ) )
32fveq1i 5793 . 2  |-  ( ( O `  G ) `
 V )  =  ( ( O `  ( X  .-  ( A `
 C ) ) ) `  V )
4 lineval.o . . . 4  |-  O  =  (eval1 `  R )
5 linply1.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 linply1.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 linply1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
8 lineval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
9 lineval.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  K )
10 linply1.x . . . . 5  |-  X  =  (var1 `  R )
114, 10, 6, 5, 7, 8, 9evl1vard 17889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  ( ( O `  X ) `  V
)  =  V ) )
12 linply1.a . . . . 5  |-  A  =  (algSc `  P )
13 linply1.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
144, 5, 6, 12, 7, 8, 13, 9evl1scad 17887 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A `  C )  e.  B  /\  ( ( O `  ( A `  C ) ) `  V )  =  C ) )
15 linply1.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  P )
16 eqid 2451 . . . 4  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
174, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 16evl1subd 17894 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  ( A `  C ) )  e.  B  /\  ( ( O `  ( X  .-  ( A `
 C ) ) ) `  V )  =  ( V (
-g `  R ) C ) ) )
1817simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( O `  ( X  .-  ( A `
 C ) ) ) `  V )  =  ( V (
-g `  R ) C ) )
193, 18syl5eq 2504 1  |-  ( ph  ->  ( ( O `  G ) `  V
)  =  ( V ( -g `  R
) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285   -gcsg 15524   CRingccrg 16761  algSccascl 17498  var1cv1 17748  Poly1cpl1 17749  eval1ce1 17867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-mhm 15575  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-sbg 15658  df-mulg 15659  df-subg 15789  df-ghm 15856  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-srg 16722  df-rng 16762  df-cring 16763  df-rnghom 16921  df-subrg 16978  df-lmod 17065  df-lss 17129  df-lsp 17168  df-assa 17499  df-asp 17500  df-ascl 17501  df-psr 17538  df-mvr 17539  df-mpl 17540  df-opsr 17542  df-evls 17704  df-evl 17705  df-psr1 17752  df-vr1 17753  df-ply1 17754  df-evl1 17869
This theorem is referenced by:  linevalexample  31005
  Copyright terms: Public domain W3C validator