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Theorem linepsubN 35892
Description: A line is a projective subspace. (Contributed by NM, 16-Oct-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
linepsub.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
linepsub.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
Assertion
Ref Expression
linepsubN  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )

Proof of Theorem linepsubN
Dummy variables  a 
b  c  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3571 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  C_  ( Atoms `  K )
2 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  <->  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) }  C_  ( Atoms `  K )
) )
31, 2mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) )
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  X  C_  ( Atoms `  K ) ) )
5 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
75, 6atbase 35430 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( Atoms `  K
)  ->  a  e.  ( Base `  K )
)
85, 6atbase 35430 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Atoms `  K
)  ->  b  e.  ( Base `  K )
)
97, 8anim12i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( a  e.  ( Base `  K
)  /\  b  e.  ( Base `  K )
) )
10 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
115, 10latjcl 15883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  a  e.  ( Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )
12113expb 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Base `  K )  /\  b  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
139, 12sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( a (
join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)
14 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  <->  p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) } ) )
15 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  p  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1615elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
175, 6atbase 35430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
1817anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
1916, 18sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2014, 19syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( p  e.  X  ->  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
21 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  <->  q  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
22 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  q  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2322elrab 3254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
245, 6atbase 35430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
2524anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
( q  e.  (
Base `  K )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2623, 25sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
2721, 26syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( q  e.  X  ->  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
2820, 27anim12d 561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
29 an4 822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  e.  (
Base `  K )  /\  p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  /\  ( q  e.  ( Base `  K
)  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )  <->  ( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3028, 29syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( ( p  e.  X  /\  q  e.  X )  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3130imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K
)  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  /\  ( p
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b )  /\  q
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
3231anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) ) )  ->  ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
3332anassrs 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  -> 
( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
345, 6atbase 35430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  ( Atoms `  K
)  ->  r  e.  ( Base `  K )
)
35 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
365, 35, 10latjle12 15894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  <-> 
( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) )
3736biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K )  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
38373exp2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
p  e.  ( Base `  K )  ->  (
q  e.  ( Base `  K )  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
3938impd 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( ( a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4039com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( p ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) )  ->  ( p (
join `  K )
q ) ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) )
4140imp43 593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( p ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b )  /\  q ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
4241adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q ) ( le `  K ) ( a ( join `  K ) b ) )
435, 10latjcl 15883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
) )
44433expib 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( p  e.  (
Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( p (
join `  K )
q )  e.  (
Base `  K )
) )
455, 35lattr 15888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( r  e.  (
Base `  K )  /\  ( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
46453exp2 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( p ( join `  K ) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4746com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p ( join `  K
) q )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( r  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4844, 47syl5d 67 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Lat  ->  (
( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
)  ->  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r  e.  ( Base `  K )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) ) ) )
4948imp41 591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( p  e.  ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5049adantlrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  ( p ( join `  K ) q ) ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5142, 50mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( (
p  e.  ( Base `  K )  /\  q  e.  ( Base `  K
) )  /\  (
p ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  /\  q ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )  /\  r  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5233, 34, 51syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
53 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
r  e.  ( Atoms `  K ) )
5452, 53jctild 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
55 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  r  e.  {
c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) } ) )
56 breq1 4442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  r  ->  (
c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b )  <->  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5756elrab 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  <-> 
( r  e.  (
Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) )
5855, 57syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) ) ) )
5958ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r  e.  X  <->  ( r  e.  ( Atoms `  K )  /\  r
( le `  K
) ( a (
join `  K )
b ) ) ) )
6054, 59sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  Lat  /\  (
a ( join `  K
) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  /\  r  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6160ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  ( a
( join `  K )
b )  e.  (
Base `  K )
)  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  /\  ( p  e.  X  /\  q  e.  X ) )  ->  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6261ralrimivva 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K )
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) )
6362ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a ( join `  K ) b )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
6413, 63syldan 468 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) )
654, 64jcad 531 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) }  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6665adantld 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( a  e.  (
Atoms `  K )  /\  b  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
6766rexlimdvva 2953 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  (
Atoms `  K )  |  c ( le `  K ) ( a ( join `  K
) b ) } )  ->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
68 linepsub.n . . . 4  |-  N  =  ( Lines `  K )
6935, 10, 6, 68isline 35879 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  <->  E. a  e.  ( Atoms `  K ) E. b  e.  ( Atoms `  K ) ( a  =/=  b  /\  X  =  { c  e.  ( Atoms `  K )  |  c ( le
`  K ) ( a ( join `  K
) b ) } ) ) )
70 linepsub.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
7135, 10, 6, 70ispsubsp 35885 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  S  <->  ( X  C_  ( Atoms `  K )  /\  A. p  e.  X  A. q  e.  X  A. r  e.  ( Atoms `  K ) ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  X ) ) ) )
7267, 69, 713imtr4d 268 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  ( X  e.  N  ->  X  e.  S ) )
7372imp 427 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  N )  ->  X  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   lecple 14794   joincjn 15775   Latclat 15877   Atomscatm 35404   Linesclines 35634   PSubSpcpsubsp 35636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-poset 15777  df-lub 15806  df-glb 15807  df-join 15808  df-meet 15809  df-lat 15878  df-ats 35408  df-lines 35641  df-psubsp 35643
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