Theorem linepsub 17232

Description: A line is a projective subspace.

Hypotheses

Ref	Expression
linepsub.n	|- N = (Lines` K)
linepsub.s	|- S = (PSubSp` K)

Assertion

Ref	Expression
linepsub	|- ((K e. LatNEW /\ X e. N) -> X e. S)

Proof of Theorem linepsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 2692	. . . . . . . . 9 |- {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} C_ (AtomsNEW` K)
2		sseq1 2637	. . . . . . . . 9 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (X C_ (AtomsNEW` K) <-> {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} C_ (AtomsNEW` K)))
3	1, 2	mpbiri 211	. . . . . . . 8 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> X C_ (AtomsNEW` K))
4	3	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K))) -> (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> X C_ (AtomsNEW` K)))
5		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (base` K) = (base` K)
6		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (join` K) = (join` K)
7	5, 6	latjcl 16852	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ a e. (base` K) /\ b e. (base` K)) -> (a(join` K)b) e. (base` K))
8	7	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (base` K) /\ b e. (base` K))) -> (a(join` K)b) e. (base` K))
9		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (AtomsNEW` K) = (AtomsNEW` K)
10	5, 9	atombase 17003	. . . . . . . . . 10 |- (a e. (AtomsNEW` K) -> a e. (base` K))
11	5, 9	atombase 17003	. . . . . . . . . 10 |- (b e. (AtomsNEW` K) -> b e. (base` K))
12	10, 11	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K)) -> (a e. (base` K) /\ b e. (base` K)))
13	8, 12	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K))) -> (a(join` K)b) e. (base` K))
14		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (le` K) = (le` K)
15	5, 14, 6	latjle12 16863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((K e. LatNEW /\ (p e. (base` K) /\ q e. (base` K) /\ (a(join` K)b) e. (base` K))) -> ((p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) <-> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)))
16	15	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. LatNEW /\ (p e. (base` K) /\ q e. (base` K) /\ (a(join` K)b) e. (base` K))) -> ((p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)))
17	16	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (K e. LatNEW -> (p e. (base` K) -> (q e. (base` K) -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b))))))
18	17	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (K e. LatNEW -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)))))
19	18	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (K e. LatNEW -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) -> ((p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)))))
20	19	imp43 397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b))
21	20	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))) /\ r e. (base` K)) -> (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b))
22	5, 14	postrNEW 16777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((K e. PosetNEW /\ (r e. (base` K) /\ (p(join` K)q) e. (base` K) /\ (a(join` K)b) e. (base` K))) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
23		latpos 16851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (K e. LatNEW -> K e. PosetNEW)
24	22, 23	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((K e. LatNEW /\ (r e. (base` K) /\ (p(join` K)q) e. (base` K) /\ (a(join` K)b) e. (base` K))) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
25	24	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (K e. LatNEW -> (r e. (base` K) -> ((p(join` K)q) e. (base` K) -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b))))))
26	25	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (K e. LatNEW -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((p(join` K)q) e. (base` K) -> (r e. (base` K) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b))))))
27	5, 6	latjcl 16852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((K e. LatNEW /\ p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) -> (p(join` K)q) e. (base` K))
28	27	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (K e. LatNEW -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) -> (p(join` K)q) e. (base` K)))
29	26, 28	syl5d 66	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (K e. LatNEW -> ((a(join` K)b) e. (base` K) -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) -> (r e. (base` K) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b))))))
30	29	imp41 395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ (p e. (base` K) /\ q e. (base` K))) /\ r e. (base` K)) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
31	30	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))) /\ r e. (base` K)) -> ((r(le` K)(p(join` K)q) /\ (p(join` K)q)(le` K)(a(join` K)b)) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
32	21, 31	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))) /\ r e. (base` K)) -> (r(le` K)(p(join` K)q) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
33		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (p e. X <-> p e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}))
34		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (c = p -> (c(le` K)(a(join` K)b) <-> p(le` K)(a(join` K)b)))
35	34	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (p e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} <-> (p e. (AtomsNEW` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)))
36	5, 9	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (p e. (AtomsNEW` K) -> p e. (base` K))
37	36	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((p e. (AtomsNEW` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)) -> (p e. (base` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)))
38	35, 37	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (p e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (p e. (base` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)))
39	33, 38	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (p e. X -> (p e. (base` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b))))
40		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (q e. X <-> q e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}))
41		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (c = q -> (c(le` K)(a(join` K)b) <-> q(le` K)(a(join` K)b)))
42	41	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (q e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} <-> (q e. (AtomsNEW` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))
43	5, 9	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (q e. (AtomsNEW` K) -> q e. (base` K))
44	43	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((q e. (AtomsNEW` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b)) -> (q e. (base` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))
45	42, 44	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (q e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (q e. (base` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))
46	40, 45	syl6bi 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (q e. X -> (q e. (base` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b))))
47	39, 46	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> ((p e. X /\ q e. X) -> ((p e. (base` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)) /\ (q e. (base` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))))
48		an4 564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((p e. (base` K) /\ p(le` K)(a(join` K)b)) /\ (q e. (base` K) /\ q(le` K)(a(join` K)b))) <-> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b))))
49	47, 48	syl6ib 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> ((p e. X /\ q e. X) -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))))
50	49	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} /\ (p e. X /\ q e. X)) -> ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b))))
51	50	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} /\ (p e. X /\ q e. X))) -> ((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))))
52	51	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) -> ((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ ((p e. (base` K) /\ q e. (base` K)) /\ (p(le` K)(a(join` K)b) /\ q(le` K)(a(join` K)b)))))
53	5, 9	atombase 17003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (r e. (AtomsNEW` K) -> r e. (base` K))
54	32, 52, 53	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) /\ r e. (AtomsNEW` K)) -> (r(le` K)(p(join` K)q) -> r(le` K)(a(join` K)b)))
55		simpr 350	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) /\ r e. (AtomsNEW` K)) -> r e. (AtomsNEW` K))
56	54, 55	jctild 662	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) /\ r e. (AtomsNEW` K)) -> (r(le` K)(p(join` K)q) -> (r e. (AtomsNEW` K) /\ r(le` K)(a(join` K)b))))
57		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (r e. X <-> r e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}))
58		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (c = r -> (c(le` K)(a(join` K)b) <-> r(le` K)(a(join` K)b)))
59	58	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (r e. {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} <-> (r e. (AtomsNEW` K) /\ r(le` K)(a(join` K)b)))
60	57, 59	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (r e. X <-> (r e. (AtomsNEW` K) /\ r(le` K)(a(join` K)b))))
61	60	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) -> (r e. X <-> (r e. (AtomsNEW` K) /\ r(le` K)(a(join` K)b))))
62	61	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) /\ r e. (AtomsNEW` K)) -> (r e. X <-> (r e. (AtomsNEW` K) /\ r(le` K)(a(join` K)b))))
63	56, 62	sylibrd 221	. . . . . . . . . . 11 |- (((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) /\ r e. (AtomsNEW` K)) -> (r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))
64	63	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) /\ (p e. X /\ q e. X)) -> A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))
65	64	r19.21aivva 15653	. . . . . . . . 9 |- (((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) -> A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))
66	65	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ (a(join` K)b) e. (base` K)) -> (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X)))
67	13, 66	syldan 516	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K))) -> (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X)))
68	4, 67	jcad 661	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K))) -> (X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)} -> (X C_ (AtomsNEW` K) /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))))
69	68	adantld 426	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ (a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K))) -> ((a =/= b /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) -> (X C_ (AtomsNEW` K) /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))))
70	69	ex 402	. . . 4 |- (K e. LatNEW -> ((a e. (AtomsNEW` K) /\ b e. (AtomsNEW` K)) -> ((a =/= b /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) -> (X C_ (AtomsNEW` K) /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X)))))
71	70	r19.23advv 2218	. . 3 |- (K e. LatNEW -> (E.a e. (AtomsNEW` K)E.b e. (AtomsNEW` K)(a =/= b /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)}) -> (X C_ (AtomsNEW` K) /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))))
72		linepsub.n	. . . 4 |- N = (Lines` K)
73	14, 6, 9, 72	isline 17220	. . 3 |- (K e. LatNEW -> (X e. N <-> E.a e. (AtomsNEW` K)E.b e. (AtomsNEW` K)(a =/= b /\ X = {c e. (AtomsNEW` K) | c(le` K)(a(join` K)b)})))
74		linepsub.s	. . . 4 |- S = (PSubSp` K)
75	14, 6, 9, 74	ispsubsp 17226	. . 3 |- (K e. LatNEW -> (X e. S <-> (X C_ (AtomsNEW` K) /\ A.p e. X A.q e. X A.r e. (AtomsNEW` K)(r(le` K)(p(join` K)q) -> r e. X))))
76	71, 73, 75	3imtr4d 602	. 2 |- (K e. LatNEW -> (X e. N -> X e. S))
77	76	imp 377	1 |- ((K e. LatNEW /\ X e. N) -> X e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  joincjn 16766  LatNEWclat 16834  AtomsNEWcatm 16981  Linesclines 17211  PSubSpcpsubsp 17213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-lub 16799  df-join 16801  df-lat 16847  df-atoms 16985  df-lines 17215  df-psubsp 17217

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