Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  linedegen Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem linedegen 30981
 Description: When Line is applied with the same argument, the result is the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 29-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
linedegen Line

Proof of Theorem linedegen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6311 . 2 Line Line
2 neirr 2652 . . . . . . . . . . 11
3 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11
42, 3mto 181 . . . . . . . . . 10
54intnanr 929 . . . . . . . . 9
65a1i 11 . . . . . . . 8
76nrex 2841 . . . . . . 7
87nex 1686 . . . . . 6
9 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
10 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . 12
119, 103anbi13d 1367 . . . . . . . . . . 11
12 opeq1 4158 . . . . . . . . . . . . 13
1312eceq1d 7418 . . . . . . . . . . . 12
1413eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
1511, 14anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
1615rexbidv 2892 . . . . . . . . 9
1716exbidv 1776 . . . . . . . 8
18 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12
19 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . 12
2018, 193anbi23d 1368 . . . . . . . . . . 11
21 opeq2 4159 . . . . . . . . . . . . 13
2221eceq1d 7418 . . . . . . . . . . . 12
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11
2420, 23anbi12d 725 . . . . . . . . . 10
2524rexbidv 2892 . . . . . . . . 9
2625exbidv 1776 . . . . . . . 8
2717, 26opelopabg 4719 . . . . . . 7
2827anidms 657 . . . . . 6
298, 28mtbiri 310 . . . . 5
30 elopaelxp 4912 . . . . . . 7
31 opelxp1 4872 . . . . . . 7
3230, 31syl 17 . . . . . 6
3332con3i 142 . . . . 5
3429, 33pm2.61i 169 . . . 4
35 df-line2 30975 . . . . . . 7 Line
3635dmeqi 5041 . . . . . 6 Line
37 dmoprab 6396 . . . . . 6
3836, 37eqtri 2493 . . . . 5 Line
3938eleq2i 2541 . . . 4 Line
4034, 39mtbir 306 . . 3 Line
41 ndmfv 5903 . . 3 Line Line
4240, 41ax-mp 5 . 2 Line
431, 42eqtri 2493 1 Line
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cvv 3031  c0 3722  cop 3965  copab 4453   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839  cfv 5589  (class class class)co 6308  coprab 6309  cec 7379  cn 10631  cee 24997   ccolin 30875  Linecline2 30972 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-xp 4845  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-ec 7383  df-line2 30975 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator