Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindszr Structured version   Unicode version

Theorem lindszr 32805
Description: Any subset of a module over a zero ring is always linearly independent. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lindszr  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  S linIndS  M )

Proof of Theorem lindszr
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing )
2 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
32lmodring 17498 . . . . . 6  |-  ( M  e.  LMod  ->  (Scalar `  M )  e.  Ring )
433ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  (Scalar `  M
)  e.  Ring )
5 0ringnnzr 17895 . . . . 5  |-  ( (Scalar `  M )  e.  Ring  -> 
( ( # `  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  =  1  <->  -.  (Scalar `  M
)  e. NzRing ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( ( # `
 ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  =  1  <->  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing )
)
71, 6mpbird 232 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( # `  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  =  1 )
87olcd 393 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( ( # `
 ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  =  0  \/  ( # `
 ( Base `  (Scalar `  M ) ) )  =  1 ) )
9 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
10 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
119, 2, 10lindsrng01 32804 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( # `  ( Base `  (Scalar `  M )
) )  =  0  \/  ( # `  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  =  1 )  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) )  ->  S linIndS  M )
128, 11syld3an2 1276 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  -.  (Scalar `  M )  e. NzRing  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  S linIndS  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ~Pcpw 3997   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   0cc0 9495   1c1 9496   #chash 12386   Basecbs 14613  Scalarcsca 14681   Ringcrg 17176   LModclmod 17490  NzRingcnzr 17883   linIndS clininds 32776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-hash 12387  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-nzr 17884  df-lininds 32778
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator