MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Unicode version

Theorem lindsss 18212
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  e.  (LIndS `  W ) )

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21linds1 18198 . . . . 5  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) )
32adantl 463 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) )
4 sstr2 3360 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( F  C_  ( Base `  W
)  ->  G  C_  ( Base `  W ) ) )
53, 4syl5com 30 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )
)  ->  ( G  C_  F  ->  G  C_  ( Base `  W ) ) )
653impia 1179 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  C_  ( Base `  W ) )
7 simp1 983 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  W  e.  LMod )
8 linds2 18199 . . . . 5  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
983ad2ant2 1005 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )
10 lindfres 18211 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W
)  ->  ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W )
117, 9, 10syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF 
W )
12 resabs1 5136 . . . . 5  |-  ( G 
C_  F  ->  (
(  _I  |`  F )  |`  G )  =  (  _I  |`  G )
)
1312breq1d 4299 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  (
( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W  <->  (  _I  |`  G ) LIndF  W ) )
14133ad2ant3 1006 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W  <->  (  _I  |`  G ) LIndF  W ) )
1511, 14mpbid 210 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  (  _I  |`  G ) LIndF 
W )
161islinds 18197 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( G  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( G  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  G ) LIndF 
W ) ) )
17163ad2ant1 1004 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( G  e.  (LIndS `  W )  <->  ( G  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  G ) LIndF  W
) ) )
186, 15, 17mpbir2and 908 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  e.  (LIndS `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    e. wcel 1761    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    _I cid 4627    |` cres 4838   ` cfv 5415   Basecbs 14170   LModclmod 16928   LIndF clindf 18192  LIndSclinds 18193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-slot 14174  df-base 14175  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lindf 18194  df-linds 18195
This theorem is referenced by:  islinds4  18223
  Copyright terms: Public domain W3C validator