MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindsss Structured version   Unicode version

Theorem lindsss 18728
Description: Any subset of an independent set is independent. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindsss  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  e.  (LIndS `  W ) )

Proof of Theorem lindsss
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21linds1 18714 . . . . 5  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) )
32adantl 466 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )
)  ->  F  C_  ( Base `  W ) )
4 sstr2 3516 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  ( F  C_  ( Base `  W
)  ->  G  C_  ( Base `  W ) ) )
53, 4syl5com 30 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )
)  ->  ( G  C_  F  ->  G  C_  ( Base `  W ) ) )
653impia 1193 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  C_  ( Base `  W ) )
7 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  W  e.  LMod )
8 linds2 18715 . . . . 5  |-  ( F  e.  (LIndS `  W
)  ->  (  _I  |`  F ) LIndF  W )
983ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  (  _I  |`  F ) LIndF 
W )
10 lindfres 18727 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (  _I  |`  F ) LIndF  W
)  ->  ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W )
117, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF 
W )
12 resabs1 5308 . . . . 5  |-  ( G 
C_  F  ->  (
(  _I  |`  F )  |`  G )  =  (  _I  |`  G )
)
1312breq1d 4463 . . . 4  |-  ( G 
C_  F  ->  (
( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W  <->  (  _I  |`  G ) LIndF  W ) )
14133ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( ( (  _I  |`  F )  |`  G ) LIndF  W  <->  (  _I  |`  G ) LIndF  W ) )
1511, 14mpbid 210 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  (  _I  |`  G ) LIndF 
W )
161islinds 18713 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( G  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( G  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  G ) LIndF 
W ) ) )
17163ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  ( G  e.  (LIndS `  W )  <->  ( G  C_  ( Base `  W )  /\  (  _I  |`  G ) LIndF  W
) ) )
186, 15, 17mpbir2and 920 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F  e.  (LIndS `  W )  /\  G  C_  F )  ->  G  e.  (LIndS `  W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    _I cid 4796    |` cres 5007   ` cfv 5594   Basecbs 14507   LModclmod 17383   LIndF clindf 18708  LIndSclinds 18709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-slot 14511  df-base 14512  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lindf 18710  df-linds 18711
This theorem is referenced by:  islinds4  18739
  Copyright terms: Public domain W3C validator