Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindssnlvec Structured version   Unicode version

Theorem lindssnlvec 38579
Description: A singleton not containing the zero element of a vector space is always linearly independent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lindssnlvec  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
)  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  { S } linIndS  M )

Proof of Theorem lindssnlvec
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4097 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  M
) ) } )  ->  s  =/=  ( 0g `  (Scalar `  M
) ) )
21adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  -> 
s  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) )
3 simpl3 1002 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  ->  S  =/=  ( 0g `  M ) )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
6 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
7 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)
9 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
10 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  ->  M  e.  LVec )
11 eldifi 3564 . . . . . 6  |-  ( s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  M
) ) } )  ->  s  e.  (
Base `  (Scalar `  M
) ) )
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  -> 
s  e.  ( Base `  (Scalar `  M )
) )
13 simpl2 1001 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  ->  S  e.  ( Base `  M ) )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13lvecvsn0 18073 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  -> 
( ( s ( .s `  M ) S )  =/=  ( 0g `  M )  <->  ( s  =/=  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) ) ) )
152, 3, 14mpbir2and 923 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M )  /\  S  =/=  ( 0g `  M
) )  /\  s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) )  -> 
( s ( .s
`  M ) S )  =/=  ( 0g
`  M ) )
1615ralrimiva 2817 . 2  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
)  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  A. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) ( s ( .s `  M
) S )  =/=  ( 0g `  M
) )
17 lveclmod 18070 . . . . 5  |-  ( M  e.  LVec  ->  M  e. 
LMod )
1817anim1i 566 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( Base `  M
) ) )
19183adant3 1017 . . 3  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
)  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( Base `  M )
) )
204, 6, 7, 8, 9, 5snlindsntor 38564 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ( Base `  M
) )  ->  ( A. s  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) ( s ( .s `  M ) S )  =/=  ( 0g `  M )  <->  { S } linIndS  M ) )
2119, 20syl 17 . 2  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
)  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  ( A. s  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  M ) ) } ) ( s ( .s `  M ) S )  =/=  ( 0g `  M )  <->  { S } linIndS  M ) )
2216, 21mpbid 210 1  |-  ( ( M  e.  LVec  /\  S  e.  ( Base `  M
)  /\  S  =/=  ( 0g `  M ) )  ->  { S } linIndS  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753    \ cdif 3410   {csn 3971   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   0gc0g 15052   LModclmod 17830   LVecclvec 18066   linIndS clininds 38533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-drng 17716  df-lmod 17832  df-lvec 18067  df-linc 38499  df-lininds 38535
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator