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Theorem lindsrng01 31000
Description: Any subset of a module is always linearly independent if the underlying ring has at most one element. Since the underlying ring cannot be the empty set (see lmodsn0 16960), this means that the underlying ring has only one element, so it is a zero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsrng01.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lindsrng01.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindsrng01.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
lindsrng01  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( # `  E )  =  0  \/  ( # `
 E )  =  1 )  /\  S  e.  ~P B )  ->  S linIndS  M )

Proof of Theorem lindsrng01
Dummy variables  f 
v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsrng01.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
2 lindsrng01.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  R
)
31, 2lmodsn0 16960 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  E  =/=  (/) )
4 fvex 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  e.  _V
52, 4eqeltri 2512 . . . . . . . . . 10  |-  E  e. 
_V
6 hasheq0 12130 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  _V  ->  (
( # `  E )  =  0  <->  E  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  E )  =  0  <->  E  =  (/) )
8 eqneqall 2704 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  =  (/)  ->  ( E  =/=  (/)  ->  S linIndS  M ) )
98com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E  =/=  (/)  ->  ( E  =  (/)  ->  S linIndS  M ) )
107, 9syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 E )  =  0  ->  S linIndS  M ) )
113, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( (
# `  E )  =  0  ->  S linIndS  M ) )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( ( # `  E
)  =  0  ->  S linIndS  M ) )
1312com12 31 . . . . 5  |-  ( (
# `  E )  =  0  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  S linIndS  M ) )
141lmodrng 16955 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
172, 160rng 30773 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( # `
 E )  =  1 )  ->  E  =  { ( 0g `  R ) } )
1815, 17sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  E  =  {
( 0g `  R
) } )
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  S  e.  ~P B
)
2019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  S  e.  ~P B )
2120adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  S  e.  ~P B )
22 snex 4532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( 0g `  R ) }  e.  _V
2320, 22jctil 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
25 elmapg 7226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B )  ->  (
f  e.  ( { ( 0g `  R
) }  ^m  S
)  <->  f : S --> { ( 0g `  R ) } ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  e.  ( { ( 0g
`  R ) }  ^m  S )  <->  f : S
--> { ( 0g `  R ) } ) )
27 fvex 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2827fconst2 5933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : S --> { ( 0g `  R ) }  <->  f  =  ( S  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
29 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  X.  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) )
3029eqeq2i 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( S  X.  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) )
3128, 30bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : S --> { ( 0g `  R ) }  <->  f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) )
32 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) )
33 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `
 E )  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  /\  x  =  v
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
3527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3632, 33, 34, 35fvmptd 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) `  v
)  =  ( 0g
`  R ) )
3736ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) )
3837a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
39 breq1 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  R )  <->  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
40 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f ( linC  `  M ) S )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) ( linC  `  M ) S ) )
4140eqeq1d 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M )  <->  ( (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  <->  ( (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
43 fveq1 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f `  v
)  =  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v ) )
4443eqeq1d 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f `  v )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
4544ralbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R )  <->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
4642, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4738, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) )  ->  (
( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4831, 47syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f : S --> { ( 0g
`  R ) }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4926, 48sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  e.  ( { ( 0g
`  R ) }  ^m  S )  -> 
( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
5049ralrimiv 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
51 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  =  { ( 0g
`  R ) }  ->  ( E  ^m  S )  =  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) )
5251raleqdv 2922 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  =  { ( 0g
`  R ) }  ->  ( A. f  e.  ( E  ^m  S
) ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( E  ^m  S
) ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5450, 53mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
5655ancomd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod ) )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod ) )
58 lindsrng01.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  M
)
59 eqid 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
6058, 59, 1, 2, 16islininds 30978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod )  ->  ( S linIndS  M  <->  ( S  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( S linIndS  M  <->  ( S  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
6221, 54, 61mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  S linIndS  M )
6318, 62mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  S linIndS  M )
6463expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  E )  =  1  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  S linIndS  M ) )
6513, 64jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  ->  S linIndS  M ) )
6665expd 436 . . 3  |-  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( S  e. 
~P B  ->  S linIndS  M ) ) )
6766com12 31 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( S  e. 
~P B  ->  S linIndS  M ) ) )
68673imp 1181 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( # `  E )  =  0  \/  ( # `
 E )  =  1 )  /\  S  e.  ~P B )  ->  S linIndS  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   _Vcvv 2971   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859   {csn 3876   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213   finSupp cfsupp 7619   0cc0 9281   1c1 9282   #chash 12102   Basecbs 14173  Scalarcsca 14240   0gc0g 14377   Ringcrg 16644   LModclmod 16947   linC clinc 30936   linIndS clininds 30972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-hash 12103  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-rng 16646  df-lmod 16949  df-lininds 30974
This theorem is referenced by:  lindszr  31001
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