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Theorem lindsrng01 32506
Description: Any subset of a module is always linearly independent if the underlying ring has at most one element. Since the underlying ring cannot be the empty set (see lmodsn0 17396), this means that the underlying ring has only one element, so it is a zero ring. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindsrng01.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lindsrng01.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindsrng01.e  |-  E  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
lindsrng01  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( # `  E )  =  0  \/  ( # `
 E )  =  1 )  /\  S  e.  ~P B )  ->  S linIndS  M )

Proof of Theorem lindsrng01
Dummy variables  f 
v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lindsrng01.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  (Scalar `  M )
2 lindsrng01.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  R
)
31, 2lmodsn0 17396 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  LMod  ->  E  =/=  (/) )
4 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  e.  _V
52, 4eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  E  e. 
_V
6 hasheq0 12413 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  _V  ->  (
( # `  E )  =  0  <->  E  =  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  E )  =  0  <->  E  =  (/) )
8 eqneqall 2674 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  =  (/)  ->  ( E  =/=  (/)  ->  S linIndS  M ) )
98com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( E  =/=  (/)  ->  ( E  =  (/)  ->  S linIndS  M ) )
107, 9syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( E  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 E )  =  0  ->  S linIndS  M ) )
113, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( (
# `  E )  =  0  ->  S linIndS  M ) )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  -> 
( ( # `  E
)  =  0  ->  S linIndS  M ) )
1312com12 31 . . . . 5  |-  ( (
# `  E )  =  0  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  S linIndS  M ) )
141lmodring 17391 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
1514adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  R  e.  Ring )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
172, 160ring 17788 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( # `
 E )  =  1 )  ->  E  =  { ( 0g `  R ) } )
1815, 17sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  E  =  {
( 0g `  R
) } )
19 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  ->  S  e.  ~P B
)
2019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  S  e.  ~P B )
2120adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  S  e.  ~P B )
22 snex 4694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { ( 0g `  R ) }  e.  _V
2320, 22jctil 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B
) )
25 elmapg 7445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { ( 0g `  R ) }  e.  _V  /\  S  e.  ~P B )  ->  (
f  e.  ( { ( 0g `  R
) }  ^m  S
)  <->  f : S --> { ( 0g `  R ) } ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  e.  ( { ( 0g
`  R ) }  ^m  S )  <->  f : S
--> { ( 0g `  R ) } ) )
27 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
2827fconst2 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : S --> { ( 0g `  R ) }  <->  f  =  ( S  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
29 fconstmpt 5049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  X.  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) )
3029eqeq2i 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( S  X.  { ( 0g `  R ) } )  <-> 
f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) )
3128, 30bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : S --> { ( 0g `  R ) }  <->  f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) )
32 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) )
33 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `
 E )  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  /\  x  =  v
)  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  S )
3527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
3632, 33, 34, 35fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( E  =  {
( 0g `  R
) }  /\  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 ) )  /\  v  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) `  v
)  =  ( 0g
`  R ) )
3736ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) )
3837a1d 25 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
39 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f finSupp  ( 0g `  R )  <->  ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
40 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f ( linC  `  M ) S )  =  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g
`  R ) ) ( linC  `  M ) S ) )
4140eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M )  <->  ( (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) ) )
4239, 41anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  <->  ( (
x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) ) ) )
43 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( f `  v
)  =  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v ) )
4443eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( f `  v )  =  ( 0g `  R )  <-> 
( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
4544ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R )  <->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
4642, 45imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  ( ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) ) ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R ) ) `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4738, 46syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  =  ( x  e.  S  |->  ( 0g `  R
) )  ->  (
( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4831, 47syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f : S --> { ( 0g
`  R ) }  ->  ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
4926, 48sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( f  e.  ( { ( 0g
`  R ) }  ^m  S )  -> 
( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) )
5049ralrimiv 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) )
51 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E  =  { ( 0g
`  R ) }  ->  ( E  ^m  S )  =  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) )
5251raleqdv 3069 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  =  { ( 0g
`  R ) }  ->  ( A. f  e.  ( E  ^m  S
) ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( A. f  e.  ( E  ^m  S
) ( ( f finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) )  <->  A. f  e.  ( { ( 0g `  R ) }  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( 0g `  M
) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
5450, 53mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P B ) )
5655ancomd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod ) )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( S  e. 
~P B  /\  M  e.  LMod ) )
58 lindsrng01.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  M
)
59 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
6058, 59, 1, 2, 16islininds 32484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  ~P B  /\  M  e.  LMod )  ->  ( S linIndS  M  <->  ( S  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
6157, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  ( S linIndS  M  <->  ( S  e.  ~P B  /\  A. f  e.  ( E  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. v  e.  S  ( f `  v
)  =  ( 0g
`  R ) ) ) ) )
6221, 54, 61mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( ( E  =  { ( 0g `  R ) }  /\  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B )  /\  ( # `  E )  =  1 ) )  ->  S linIndS  M )
6318, 62mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  /\  ( # `  E
)  =  1 )  ->  S linIndS  M )
6463expcom 435 . . . . 5  |-  ( (
# `  E )  =  1  ->  (
( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P B
)  ->  S linIndS  M ) )
6513, 64jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( ( M  e.  LMod  /\  S  e. 
~P B )  ->  S linIndS  M ) )
6665expd 436 . . 3  |-  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( M  e. 
LMod  ->  ( S  e. 
~P B  ->  S linIndS  M ) ) )
6766com12 31 . 2  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( ( ( # `  E
)  =  0  \/  ( # `  E
)  =  1 )  ->  ( S  e. 
~P B  ->  S linIndS  M ) ) )
68673imp 1190 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( # `  E )  =  0  \/  ( # `
 E )  =  1 )  /\  S  e.  ~P B )  ->  S linIndS  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   0cc0 9504   1c1 9505   #chash 12385   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   0gc0g 14712   Ringcrg 17070   LModclmod 17383   linC clinc 32442   linIndS clininds 32478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lininds 32480
This theorem is referenced by:  lindszr  32507
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