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Theorem lindslinindsimp2lem5 31008
Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 31009. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2lem5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
g, y    f, M, g, y    R, f, x    S, f, g, x, y   
g, V, y    f, Z, g, y    .0. , f,
g, x, y    R, g, y
Allowed substitution hints:    B( x)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . 4  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
21a1d 25 . . 3  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4 elmapi 7246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  f : S --> B )
5 ffvelrn 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : S --> B  /\  x  e.  S )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
65expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
98com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : S --> B  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
104, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1211impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
1312biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =/=  .0.  <->  ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( f `
 x )  =/= 
.0.  ) ) )
14 df-ne 2620 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =/=  .0.  <->  -.  (
f `  x )  =  .0.  )
1514bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  =/=  .0.  )
16 eldifsn 4012 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
f `  x )  e.  B  /\  (
f `  x )  =/=  .0.  ) )
1713, 15, 163bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
18 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
1918lmodfgrp 16969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
2019adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  R  e.  Grp )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  R  e.  Grp )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  R  e.  Grp )
23 lindslinind.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
24 lindslinind.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
25 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
2623, 24, 25grpinvnzcl 15610 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( f `  x
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2722, 26sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  ( f `
 x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2827ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
2917, 28sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
30 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x ) )
3130eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( -.  ( y ( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
3332orbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
3433ralbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3534rspcva 3083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
36 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )
38 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M ) )
39 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  x  e.  S )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f  e.  ( B  ^m  S ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  S ) )
42 lindslinind.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
43 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
44 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )
4518, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem2 31005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S  /\  f  e.  ( B  ^m  S ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
4637, 38, 39, 41, 45syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
g  =  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) )
4824a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4947, 48breq12d 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g finSupp  .0.  <->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
5049notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  <->  -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R ) ) )
51 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )
5251eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5450, 53orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
5554rspcva 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( -.  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
)  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5624breq2i 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f finSupp  .0.  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f finSupp  ( 0g `  R
) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f finSupp  ( 0g
`  R ) )
61 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
6360, 62fsuppres 7657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
6463pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
6564com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
66 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  M  e.  LMod )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6818fveq2i 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6923, 68eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  B
7069oveq1i 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  =  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )
7146, 70syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
72 ssdifss 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
75 difexg 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  \  {
x } )  e. 
_V )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
78 elpwg 3880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  \  { x } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
8074, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
82 lincval 30955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  /\  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) ) )
8367, 71, 81, 82syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f  |`  ( S  \  { x } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
84 fvres 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( S  \  { x } )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8685oveq1d 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z )  =  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) )
8786mpteq2dva 4390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  {
x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s
`  M ) z ) )  =  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )
8887oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
90 3anass 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
9190bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9291biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9418, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem4 31007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9537, 89, 93, 94syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9683, 88, 953eqtrrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
9796pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
9965, 98jaoi 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/ 
-.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
10055, 99syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
101100ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
102101com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) )
10346, 102mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
10435, 103syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
105104expd 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
10629, 105syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
107106com12 31 . . 3  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
108107expd 436 . 2  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
1093, 108pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   _Vcvv 2984    \ cdif 3337    C_ wss 3340   ~Pcpw 3872   {csn 3889   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362    |` cres 4854   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   finSupp cfsupp 7632   Basecbs 14186  Scalarcsca 14253   .scvsca 14254   0gc0g 14390    gsumg cgsu 14391   Grpcgrp 15422   invgcminusg 15423   LModclmod 16960   linC clinc 30950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-lmod 16962  df-linc 30952
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  31009
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