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Theorem lindslinindsimp2lem5 32153
Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 32154. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2lem5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
g, y    f, M, g, y    R, f, x    S, f, g, x, y   
g, V, y    f, Z, g, y    .0. , f,
g, x, y    R, g, y
Allowed substitution hints:    B( x)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . 4  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
21a1d 25 . . 3  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4 elmapi 7440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  f : S --> B )
5 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : S --> B  /\  x  e.  S )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
65expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
98com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : S --> B  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
104, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1211impcom 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
1312biantrurd 508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =/=  .0.  <->  ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( f `
 x )  =/= 
.0.  ) ) )
14 df-ne 2664 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =/=  .0.  <->  -.  (
f `  x )  =  .0.  )
1514bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  =/=  .0.  )
16 eldifsn 4152 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
f `  x )  e.  B  /\  (
f `  x )  =/=  .0.  ) )
1713, 15, 163bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
18 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
1918lmodfgrp 17316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
2019adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  R  e.  Grp )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  R  e.  Grp )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  R  e.  Grp )
23 lindslinind.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
24 lindslinind.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
25 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
2623, 24, 25grpinvnzcl 15917 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( f `  x
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2722, 26sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  ( f `
 x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2827ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
2917, 28sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
30 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x ) )
3130eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( -.  ( y ( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
3332orbi2d 701 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
3433ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3534rspcva 3212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
36 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )
38 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M ) )
39 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  x  e.  S )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f  e.  ( B  ^m  S ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  S ) )
42 lindslinind.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
43 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
44 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )
4518, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem2 32150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S  /\  f  e.  ( B  ^m  S ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
4637, 38, 39, 41, 45syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
g  =  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) )
4824a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4947, 48breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g finSupp  .0.  <->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
5049notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  <->  -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R ) ) )
51 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )
5251eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
5352notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5450, 53orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
5554rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( -.  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
)  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5624breq2i 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f finSupp  .0.  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f finSupp  ( 0g `  R
) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f finSupp  ( 0g
`  R ) )
61 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
6360, 62fsuppres 7853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
6463pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
6564com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
66 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  M  e.  LMod )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6818fveq2i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6923, 68eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  B
7069oveq1i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  =  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )
7146, 70syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
72 ssdifss 3635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
75 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  \  {
x } )  e. 
_V )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
78 elpwg 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  \  { x } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
8074, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
82 lincval 32100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  /\  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) ) )
8367, 71, 81, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f  |`  ( S  \  { x } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
84 fvres 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( S  \  { x } )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8685oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z )  =  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) )
8786mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  {
x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s
`  M ) z ) )  =  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )
8887oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
90 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
9190bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9291biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9418, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem4 32152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9537, 89, 93, 94syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9683, 88, 953eqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
9796pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
9965, 98jaoi 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/ 
-.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
10055, 99syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
101100ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
102101com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) )
10346, 102mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
10435, 103syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
105104expd 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
10629, 105syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
107106com12 31 . . 3  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
108107expd 436 . 2  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
1093, 108pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420   finSupp cfsupp 7828   Basecbs 14489  Scalarcsca 14557   .scvsca 14558   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695   Grpcgrp 15726   invgcminusg 15727   LModclmod 17307   linC clinc 32095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-lmod 17309  df-linc 32097
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  32154
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