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Theorem lindslinindsimp2lem5 33317
Description: Lemma 5 for lindslinindsimp2 33318. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2lem5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
g, y    f, M, g, y    R, f, x    S, f, g, x, y   
g, V, y    f, Z, g, y    .0. , f,
g, x, y    R, g, y
Allowed substitution hints:    B( x)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp2lem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . 4  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
21a1d 25 . . 3  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
32a1d 25 . 2  |-  ( ( f `  x )  =  .0.  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4 elmapi 7433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  f : S --> B )
5 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : S --> B  /\  x  e.  S )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
65expcom 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  S  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
76adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
98com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : S --> B  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
104, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1110adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
1211impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
1312biantrurd 506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =/=  .0.  <->  ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( f `
 x )  =/= 
.0.  ) ) )
14 df-ne 2651 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  =/=  .0.  <->  -.  (
f `  x )  =  .0.  )
1514bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  =/=  .0.  )
16 eldifsn 4141 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  <->  ( (
f `  x )  e.  B  /\  (
f `  x )  =/=  .0.  ) )
1713, 15, 163bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  <->  ( f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )
18 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
1918lmodfgrp 17716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
2019adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  R  e.  Grp )
2120adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  R  e.  Grp )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  R  e.  Grp )
23 lindslinind.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
24 lindslinind.0 . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
25 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
2623, 24, 25grpinvnzcl 16309 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( f `  x
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2722, 26sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  ( f `
 x )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) )
2827ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
2917, 28sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
) ) )
30 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x ) )
3130eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
3231notbid 292 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( -.  ( y ( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
3332orbi2d 699 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
3433ralbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  -> 
( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) ) )
3534rspcva 3205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )
36 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )
3736adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )
38 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M ) )
39 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  x  e.  S )
40 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f  e.  ( B  ^m  S ) )
4140adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  S ) )
42 lindslinind.z . . . . . . . . . 10  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
43 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
44 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )
4518, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem2 33314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S  /\  f  e.  ( B  ^m  S ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
4637, 38, 39, 41, 45syl13anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
47 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
g  =  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) )
4824a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  ->  .0.  =  ( 0g `  R ) )
4947, 48breq12d 4452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g finSupp  .0.  <->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) ) )
5049notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  <->  -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R ) ) )
51 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )
5251eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  <->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) )
5352notbid 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( -.  ( ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5450, 53orbi12d 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  <->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/  -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
5554rspcva 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( -.  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
)  \/  -.  (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
5624breq2i 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f finSupp  .0. 
<->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5756biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f finSupp  .0.  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  f finSupp  ( 0g `  R ) )
5958adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
f finSupp  ( 0g `  R
) )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  f finSupp  ( 0g
`  R ) )
61 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  _V )
6360, 62fsuppres 7846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) finSupp 
( 0g `  R
) )
6463pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
6564com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) finSupp  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
66 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  M  e.  LMod )
6766adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  M  e.  LMod )
6818fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6923, 68eqtr2i 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  B
7069oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  =  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )
7146, 70syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  |`  ( S  \  {
x } ) )  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M )
)  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
72 ssdifss 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )
7372adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
7473adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
75 difexg 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  \  {
x } )  e. 
_V )
7776adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
78 elpwg 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  \  { x } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
8074, 79mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
8180adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
82 lincval 33264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )  /\  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) ) )
8367, 71, 81, 82syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
f  |`  ( S  \  { x } ) ) ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) `  z
) ( .s `  M ) z ) ) ) )
84 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( S  \  { x } )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8584adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 z )  =  ( f `  z
) )
8685oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  /\  z  e.  ( S  \  {
x } ) )  ->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z )  =  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) )
8786mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( z  e.  ( S  \  {
x } )  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s
`  M ) z ) )  =  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )
8887oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  z ) ( .s `  M
) z ) ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  z ) ( .s `  M
) z ) ) ) )
89 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
90 3anass 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
9190bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  <->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9291biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
9392adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )
9418, 23, 24, 42, 43, 44lindslinindimp2lem4 33316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  z ) ( .s
`  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9537, 89, 93, 94syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( f `
 z ) ( .s `  M ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9683, 88, 953eqtrrd 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
9796pm2.24d 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
9897com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
9965, 98jaoi 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) finSupp  ( 0g `  R )  \/ 
-.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) ) ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
10055, 99syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  |`  ( S  \  { x }
) )  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) )  /\  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) )
101100ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
102101com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) )  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  ->  ( (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) )
10346, 102mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
10435, 103syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  /\  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) )
105104expd 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  (
f `  x )
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
10629, 105syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
107106com12 31 . . 3  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
108107expd 434 . 2  |-  ( -.  ( f `  x
)  =  .0.  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
1093, 108pm2.61i 164 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   finSupp cfsupp 7821   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253   LModclmod 17707   linC clinc 33259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-linc 33261
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2  33318
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