Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindsimp2 Structured version   Unicode version

Theorem lindslinindsimp2 32163
Description: Implication 2 for lindslininds 32164. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y    y, R    x, B    x, M    R, s    f, V, x   
x, Z

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
2 elpwg 4018 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
32ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S 
C_  ( Base `  M
) ) )
41, 3mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M ) )
5 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
6 ssdifss 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
76adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
8 difexg 4595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
10 elpwg 4018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
127, 11mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1413lspeqlco 32139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
1514eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
1615bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
175, 12, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
2113, 19, 20lcoval 32112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2322eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
2423breq2i 4455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
2524anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2625rexbii 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2726anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
2821, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
295, 12, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3029notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
31 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
32 ralnex 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
33 ianor 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
3433ralbii 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3532, 34bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3635orbi2i 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3731, 36bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3830, 37syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3918, 38bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
40392ralbidv 2908 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
42 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
45 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
4645ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
47 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 17329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  s  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
4941, 44, 46, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
50 notnot 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  <->  -.  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M ) )
52 nbfal 1390 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <->  ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <-> F.  ) )
5351, 52sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  <-> F.  )
)
5453orbi1d 702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( Base `  M
)  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
55542ralbidva 2906 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
56 r19.32v 3007 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5756ralbii 2895 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
58 r19.32v 3007 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
60 falim 1393 . . . . . . . . 9  |-  ( F. 
->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
61 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  { s }  =  { x } )
6261difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( S  \  { s } )  =  ( S 
\  { x }
) )
6362oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  =  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
64 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( y ( .s `  M ) x ) )
6562oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
6664, 65eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6766notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <->  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6867orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  (
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
6963, 68raleqbidv 3072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  x  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7069ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  x  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7170rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
72 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
7319, 20, 22, 72lindslinindsimp2lem5 32162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
7473expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7574com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) ) )
7877pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7978com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
8180expdimp 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8281ralrimdv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  ) )
8382ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
8483expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8560, 84jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8685com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8759, 86syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8855, 87sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8940, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9089impr 619 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
914, 90jca 532 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9291ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   F. wfal 1384    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695   LModclmod 17312   LSpanclspn 17417   linC clinc 32104   LinCo clinco 32105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-linc 32106  df-lco 32107
This theorem is referenced by:  lindslininds  32164
  Copyright terms: Public domain W3C validator