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Theorem lindslinindsimp2 30997
Description: Implication 2 for lindslininds 30998. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y    y, R    x, B    x, M    R, s    f, V, x   
x, Z

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
2 elpwg 3868 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
32ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S 
C_  ( Base `  M
) ) )
41, 3mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M ) )
5 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
6 ssdifss 3487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
76adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
8 difexg 4440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
10 elpwg 3868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
127, 11mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
13 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1413lspeqlco 30973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
1514eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
1615bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
175, 12, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
2113, 19, 20lcoval 30946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2322eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
2423breq2i 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
2524anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2625rexbii 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2726anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
2821, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
295, 12, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3029notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
31 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
32 ralnex 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
33 ianor 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
3433ralbii 2739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3532, 34bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3635orbi2i 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3731, 36bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3830, 37syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3918, 38bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
40392ralbidv 2757 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
42 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
45 ssel2 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
4645ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
47 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 16965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  s  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
4941, 44, 46, 48syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
50 notnot 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  <->  -.  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M ) )
52 nbfal 1380 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <->  ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <-> F.  ) )
5351, 52sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  <-> F.  )
)
5453orbi1d 702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( Base `  M
)  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
55542ralbidva 2755 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
56 r19.32v 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5756ralbii 2739 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
58 r19.32v 2866 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
60 falim 1383 . . . . . . . . 9  |-  ( F. 
->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
61 sneq 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  { s }  =  { x } )
6261difeq2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( S  \  { s } )  =  ( S 
\  { x }
) )
6362oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  =  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
64 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( y ( .s `  M ) x ) )
6562oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
6664, 65eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6766notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <->  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6867orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  (
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
6963, 68raleqbidv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  x  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7069ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  x  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7170rspcva 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
72 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
7319, 20, 22, 72lindslinindsimp2lem5 30996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
7473expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7574com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) ) )
7877pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7978com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
8180expdimp 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8281ralrimdv 2805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  ) )
8382ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
8483expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8560, 84jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8685com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8759, 86syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8855, 87sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8940, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9089impr 619 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
914, 90jca 532 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9291ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   F. wfal 1374    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ^m cmap 7214   finSupp cfsupp 7620   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052   linC clinc 30938   LinCo clinco 30939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-linc 30940  df-lco 30941
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