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Theorem lindslinindsimp2 30821
Description: Implication 2 for lindslininds 30822. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y    y, R    x, B    x, M    R, s    f, V, x   
x, Z

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 750 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
2 elpwg 3865 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
32ad2antrr 720 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S 
C_  ( Base `  M
) ) )
41, 3mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M ) )
5 simplr 749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
6 ssdifss 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
76adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
8 difexg 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
98ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
10 elpwg 3865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
127, 11mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
13 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1413lspeqlco 30797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
1514eleq2d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
1615bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
175, 12, 16syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
1817notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
2113, 19, 20lcoval 30770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2322eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
2423breq2i 4297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
2524anbi1i 690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2625rexbii 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2726anbi2i 689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
2821, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
295, 12, 28syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3029notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
31 ianor 485 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
32 ralnex 2723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
33 ianor 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
3433ralbii 2737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3532, 34bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3635orbi2i 516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3731, 36bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3830, 37syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3918, 38bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
40392ralbidv 2755 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
41 simpllr 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
42 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
4342adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
4443adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
45 ssel2 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
4645ad2ant2lr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
47 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  s  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
4941, 44, 46, 48syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
50 notnot 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  <->  -.  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M ) )
52 nbfal 1375 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <->  ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <-> F.  ) )
5351, 52sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  <-> F.  )
)
5453orbi1d 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( Base `  M
)  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
55542ralbidva 2753 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
56 r19.32v 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5756ralbii 2737 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
58 r19.32v 2864 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
60 falim 1378 . . . . . . . . 9  |-  ( F. 
->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
61 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  { s }  =  { x } )
6261difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( S  \  { s } )  =  ( S 
\  { x }
) )
6362oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  =  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
64 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( y ( .s `  M ) x ) )
6562oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
6664, 65eqeq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6766notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <->  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6867orbi2d 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  (
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
6963, 68raleqbidv 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  x  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7069ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  x  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7170rspcva 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
72 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
7319, 20, 22, 72lindslinindsimp2lem5 30820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
7473expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7574com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) ) )
7877pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7978com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
8180expdimp 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8281ralrimdv 2803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  ) )
8382ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
8483expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8560, 84jaoi 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8685com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8759, 86syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8855, 87sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8940, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9089impr 616 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
914, 90jca 529 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9291ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   F. wfal 1369    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   LModclmod 16928   LSpanclspn 17030   linC clinc 30762   LinCo clinco 30763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-linc 30764  df-lco 30765
This theorem is referenced by:  lindslininds  30822
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