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Theorem lindslinindsimp2 33318
Description: Implication 2 for lindslininds 33319. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y    y, R    x, B    x, M    R, s    f, V, x   
x, Z

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
2 elpwg 4007 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
32ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S 
C_  ( Base `  M
) ) )
41, 3mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M ) )
5 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  M  e.  LMod )
6 ssdifss 3621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
76adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) )
8 difexg 4585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
98ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
10 elpwg 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( S 
\  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
127, 11mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
13 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
1413lspeqlco 33294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
1514eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
1615bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
175, 12, 16syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
1817notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (Scalar `  M )
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
2113, 19, 20lcoval 33267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2322eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
2423breq2i 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
2524anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2625rexbii 2956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
2726anbi2i 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
2821, 27syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
295, 12, 28syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3029notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  -.  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
31 ianor 486 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
32 ralnex 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
33 ianor 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
3433ralbii 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3532, 34bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
3635orbi2i 517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  \/  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3731, 36bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
3830, 37syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
3918, 38bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
40392ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
41 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
42 eldifi 3612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
4342adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
45 ssel2 3484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  s  e.  S )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
4645ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  M
) )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 17724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  y  e.  B  /\  s  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
4941, 44, 46, 48syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
50 notnot 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  <->  -.  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M ) )
52 nbfal 1409 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <->  ( -.  ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  <-> F.  ) )
5351, 52sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  <-> F.  )
)
5453orbi1d 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( Base `  M
)  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
55542ralbidva 2896 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
56 r19.32v 3000 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5756ralbii 2885 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
58 r19.32v 3000 . . . . . . . 8  |-  ( A. s  e.  S  ( F.  \/  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  <->  ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
60 falim 1412 . . . . . . . . 9  |-  ( F. 
->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
61 sneq 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  { s }  =  { x } )
6261difeq2d 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( S  \  { s } )  =  ( S 
\  { x }
) )
6362oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  =  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
64 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( y ( .s `  M ) x ) )
6562oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  =  x  ->  (
g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )
6664, 65eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( s  =  x  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6766notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( s  =  x  ->  ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  <->  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
6867orbi2d 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  x  ->  (
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  (
y ( .s `  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ) ) )
6963, 68raleqbidv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  x  ->  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7069ralbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  x  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) ) )
7170rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
72 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
7319, 20, 22, 72lindslinindsimp2lem5 33317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
7473expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7574com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) x )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7671, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  S  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
x  e.  S  -> 
( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  ( f finSupp  .0. 
/\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7776ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) ) )
7877pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  ) ) ) )
7978com14 88 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
8079imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( x  e.  S  ->  ( f `  x )  =  .0.  ) ) )
8180expdimp 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8281ralrimdv 2870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  /\  f  e.  ( B  ^m  S
) )  ->  (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  ) )
8382ralrimiva 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
8483expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8560, 84jaoi 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M
) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8685com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( ( F.  \/  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8759, 86syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( F.  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8855, 87sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ( -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  \/  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
8940, 88sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  S  C_  ( Base `  M ) )  ->  ( A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9089impr 617 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)
914, 90jca 530 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )
9291ex 432 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  }
)  -.  ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398   F. wfal 1403    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   finSupp cfsupp 7821   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929   LModclmod 17707   LSpanclspn 17812   linC clinc 33259   LinCo clinco 33260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-linc 33261  df-lco 33262
This theorem is referenced by:  lindslininds  33319
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