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Theorem lindslinindsimp1 39901
Description: Implication 1 for lindslininds 39908. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y, s)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3990 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
21ad2antrl 732 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
3 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
43anim2i 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
54ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
65ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
7 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
87adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
98adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  y  e.  B )
11 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  S )
1211adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  s  e.  S )
13 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1410, 12, 133jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
15 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g finSupp  .0.  )
16 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R  =  (Scalar `  M )
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  B  =  ( Base `  R
)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
21 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
22 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 39899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  g finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
246, 14, 15, 23syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  )
254adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
2625ancomd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2726adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 39898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
2927, 14, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
30 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f finSupp  .0.  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
31 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
3231eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
3330, 32anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  /\  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
34 fveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x ) )
3534eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =  .0.  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3635ralbidv 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
f `  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3733, 36imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  <->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3837rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  e.  ( B  ^m  S
)  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3929, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
4039exp4a 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4124, 40mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
42 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 39900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )
446, 14, 42, 43syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
45 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  s  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  s ) )
4645eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
4746rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ) )
4812, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
49 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) )
50 iftrue 3917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
52 fvex 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( invg `  R
) `  y )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  _V )
5449, 51, 11, 53fvmptd 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5655eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ) )
5717lmodfgrp 18100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
5818, 19, 21grpinvnzcl 16726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
59 eldif 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  <->  ( ( ( invg `  R
) `  y )  e.  B  /\  -.  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } ) )
6052elsnc 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  <-> 
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  )
61 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  V  -> 
( s  e.  S  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) ) )
6261com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
6360, 62sylnbi 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  ->  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  B  /\  -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6559, 64sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6658, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6766ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
6857, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) ) )
6968com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
7069impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
7170impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7271com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  S  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7372imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
7473impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7656, 75sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7748, 76syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7844, 77embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7941, 78syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8079com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8180expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8281exp4c 611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
8382impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
8483impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8584imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8685expdimp 438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8786expd 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( g finSupp  .0.  ->  ( ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8887impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
8988pm2.01d 172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )
9089olcd 394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
91 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  g finSupp  .0.  )
9291orcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9390, 92pm2.61ian 797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
9493ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
95 ralnex 2868 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
96 ianor 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9796ralbii 2853 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9895, 97bitr3i 254 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9994, 98sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
10099intnand 924 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
1013ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1021ssdifssd 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
103102ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
104 difexg 4572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
105104ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
106 elpwg 3989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
108103, 107mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
109108adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
11016lspeqlco 39883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
111110eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
112111bicomd 204 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
113101, 109, 112syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) ) ) )
1143adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
115 difexg 4572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
116115, 106syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
117102, 116mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
118117ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
119114, 118jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
120119adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
12116, 17, 18lcoval 39856 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
12219eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
123122breq2i 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
124123anbi1i 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
125124rexbii 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
126125anbi2i 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
127121, 126syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
128120, 127syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( M LinCo 
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
129113, 128bitrd 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
130100, 129mtbird 302 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
131130ralrimivva 2843 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
1322, 131jca 534 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
133132ex 435 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   finSupp cfsupp 7893   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670   LModclmod 18091   LSpanclspn 18194   linC clinc 39848   LinCo clinco 39849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-linc 39850  df-lco 39851
This theorem is referenced by:  lindslininds  39908
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