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Theorem lindslinindsimp1 30832
Description: Implication 1 for lindslininds 30839. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y, s)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3866 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
21ad2antrl 722 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
3 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
43anim2i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
54ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
65ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
7 eldifi 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
87adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
98adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
109adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  y  e.  B )
11 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  S )
1211adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  s  e.  S )
13 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1410, 12, 133jca 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
15 simprrl 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g finSupp  .0.  )
16 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R  =  (Scalar `  M )
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  B  =  ( Base `  R
)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
21 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
22 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 30830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  g finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
246, 14, 15, 23syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  )
254adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
2625ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2726adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 30829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
2927, 14, 28syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
30 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f finSupp  .0.  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
31 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
3231eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
3330, 32anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  /\  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
34 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x ) )
3534eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =  .0.  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3635ralbidv 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
f `  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  <->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3837rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  e.  ( B  ^m  S
)  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3929, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
4039exp4a 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4124, 40mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
42 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 30831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )
446, 14, 42, 43syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
45 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  s  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  s ) )
4645eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
4746rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ) )
4812, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
49 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) )
50 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5150adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
52 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( invg `  R
) `  y )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  _V )
5449, 51, 11, 53fvmptd 5776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5554adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5655eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ) )
5717lmodfgrp 16937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
5818, 19, 21grpinvnzcl 15591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
59 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  <->  ( ( ( invg `  R
) `  y )  e.  B  /\  -.  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } ) )
6052elsnc 3898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  <-> 
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  )
61 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  V  -> 
( s  e.  S  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) ) )
6261com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
6360, 62sylnbi 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  ->  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6463adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  B  /\  -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6559, 64sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6658, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
6857, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) ) )
6968com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7271com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  S  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
7473impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7574adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7656, 75sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7748, 76syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7844, 77embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7941, 78syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8079com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8180exp3a 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8281exp4c 605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
8382impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8685expdimp 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8786exp3a 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( g finSupp  .0.  ->  ( ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
8988pm2.01d 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )
9089olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
91 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  g finSupp  .0.  )
9291orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9390, 92pm2.61ian 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
9493ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
95 ralnex 2723 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
96 ianor 485 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9796ralbii 2737 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9895, 97bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9994, 98sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
10099intnand 902 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
1013ad2antrr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1021ssdifssd 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
103102ad2antrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
104 difexg 4437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
105104ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
106 elpwg 3865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
108103, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
109108adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
11016lspeqlco 30814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
111110eleq2d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
112111bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
113101, 109, 112syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) ) ) )
1143adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
115 difexg 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
116115, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
117102, 116mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
118117ad2antrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
119114, 118jca 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
120119adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
12116, 17, 18lcoval 30787 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
12219eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
123122breq2i 4297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
124123anbi1i 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
125124rexbii 2738 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
126125anbi2i 689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
127121, 126syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
128120, 127syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( M LinCo 
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
129113, 128bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
130100, 129mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
131130ralrimivva 2806 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
1322, 131jca 529 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
133132ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   LModclmod 16928   LSpanclspn 17030   linC clinc 30779   LinCo clinco 30780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-linc 30781  df-lco 30782
This theorem is referenced by:  lindslininds  30839
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