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Theorem lindslinindsimp1 32540
Description: Implication 1 for lindslininds 32547. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y, s)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4025 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
21ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
43anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
54ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
7 eldifi 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  y  e.  B )
11 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  S )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  s  e.  S )
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1410, 12, 133jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
15 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g finSupp  .0.  )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R  =  (Scalar `  M )
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  B  =  ( Base `  R
)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 32538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  g finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
246, 14, 15, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  )
254adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
2625ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 32537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
2927, 14, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
30 breq1 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f finSupp  .0.  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
31 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
3231eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
3330, 32anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  /\  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
34 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x ) )
3534eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =  .0.  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3635ralbidv 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
f `  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  <->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3837rspcv 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  e.  ( B  ^m  S
)  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3929, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
4039exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4124, 40mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
42 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 32539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )
446, 14, 42, 43syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  s  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  s ) )
4645eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
4746rspcv 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ) )
4812, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
49 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) )
50 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
52 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( invg `  R
) `  y )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  _V )
5449, 51, 11, 53fvmptd 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5655eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ) )
5717lmodfgrp 17392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
5818, 19, 21grpinvnzcl 15982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
59 eldif 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  <->  ( ( ( invg `  R
) `  y )  e.  B  /\  -.  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } ) )
6052elsnc 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  <-> 
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  )
61 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  V  -> 
( s  e.  S  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) ) )
6261com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
6360, 62sylnbi 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  ->  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  B  /\  -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6559, 64sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6658, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
6857, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) ) )
6968com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7271com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  S  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
7473impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7656, 75sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7748, 76syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7844, 77embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7941, 78syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8079com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8180expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8281exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
8382impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8685expdimp 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8786expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( g finSupp  .0.  ->  ( ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
8988pm2.01d 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )
9089olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
91 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  g finSupp  .0.  )
9291orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9390, 92pm2.61ian 788 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
9493ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
95 ralnex 2913 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
96 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9796ralbii 2898 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9895, 97bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9994, 98sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
10099intnand 914 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
1013ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1021ssdifssd 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
103102ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
104 difexg 4601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
106 elpwg 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
108103, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
109108adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
11016lspeqlco 32522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
111110eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
112111bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
113101, 109, 112syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) ) ) )
1143adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
115 difexg 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
116115, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
117102, 116mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
118117ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
119114, 118jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
120119adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
12116, 17, 18lcoval 32495 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
12219eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
123122breq2i 4461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
124123anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
125124rexbii 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
126125anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
127121, 126syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
128120, 127syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( M LinCo 
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
129113, 128bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
130100, 129mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
131130ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
1322, 131jca 532 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
133132ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926   LModclmod 17383   LSpanclspn 17488   linC clinc 32487   LinCo clinco 32488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-linc 32489  df-lco 32490
This theorem is referenced by:  lindslininds  32547
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