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Theorem lindslinindsimp1 32793
Description: Implication 1 for lindslininds 32800. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, f,
s, y    f, M, s, y    R, f, x    S, f, s, x, y    V, s, y    f, Z, s, y    .0. , f,
s, x, y
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y, s)    M( x)    V( x, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindsimp1
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4006 . . . 4  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
21ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
43anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
54ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
7 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
y  e.  B )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  y  e.  B )
98adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  y  e.  B )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  y  e.  B )
11 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  s  e.  S )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  s  e.  S )
13 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )
1410, 12, 133jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )
15 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  g finSupp  .0.  )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
17 lindslinind.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  R  =  (Scalar `  M )
18 lindslinind.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  B  =  ( Base `  R
)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
20 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )
2316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext2 32791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  g finSupp  .0.  )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  )
246, 14, 15, 23syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  )
254adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  M  e.  LMod ) )
2625ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2726adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
) ) )
2816, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext1 32790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
2927, 14, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  e.  ( B  ^m  S ) )
30 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f finSupp  .0.  <->  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ) )
31 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f
( linC  `  M ) S )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S ) )
3231eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z ) )
3330, 32anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) finSupp  .0.  /\  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z ) ) )
34 fveq1 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x ) )
3534eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
f `  x )  =  .0.  <->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3635ralbidv 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
f `  x )  =  .0.  <->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) )
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) )  ->  ( (
( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  <->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3837rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  e.  ( B  ^m  S
)  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
3929, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) finSupp  .0.  /\  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
4039exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) finSupp  .0.  ->  ( ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) ) )
4124, 40mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ) ) )
42 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
4316, 17, 18, 19, 20, 21, 22lincext3 32792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( y  e.  B  /\  s  e.  S  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  /\  ( g finSupp  .0.  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z )
446, 14, 42, 43syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) ( linC  `  M ) S )  =  Z )
45 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  s  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  s ) )
4645eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  <->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
4746rspcv 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( s  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  ( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) `  x )  =  .0.  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ) )
4812, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  .0.  ) )
49 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) )  =  ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) )
50 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  =  s  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  z  =  s )  ->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
52 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( invg `  R
) `  y )  e.  _V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  _V )
5449, 51, 11, 53fvmptd 5946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  s )  =  ( ( invg `  R ) `  y
) )
5655eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  <->  ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ) )
5717lmodfgrp 17499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
5818, 19, 21grpinvnzcl 16088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 y )  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )
59 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  <->  ( ( ( invg `  R
) `  y )  e.  B  /\  -.  (
( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } ) )
6052elsnc 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  <-> 
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  )
61 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  V  -> 
( s  e.  S  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) ) )
6261com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
6360, 62sylnbi 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  }  ->  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  B  /\  -.  ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  {  .0.  } )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6559, 64sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6658, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
6857, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  e.  V  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `
 y )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) ) )
6968com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  -> 
( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) ) )
7069impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) ) )
7170impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( s  e.  S  ->  ( ( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7271com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  S  ->  (
y  e.  ( B 
\  {  .0.  }
)  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) ) )
7372imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) ) )
7473impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( ( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( invg `  R ) `  y
)  =  .0.  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
7656, 75sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 s )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7748, 76syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. x  e.  S  (
( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R
) `  y ) ,  ( g `  z ) ) ) `
 x )  =  .0.  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7844, 77embantd 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `  y
) ,  ( g `
 z ) ) ) ( linC  `  M
) S )  =  Z  ->  A. x  e.  S  ( (
z  e.  S  |->  if ( z  =  s ,  ( ( invg `  R ) `
 y ) ,  ( g `  z
) ) ) `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
7941, 78syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8079com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )  /\  ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) ) )  /\  ( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8180expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( (
( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod ) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8281exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x )  =  .0.  )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) ) )
8382impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) )  -> 
( ( g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
8483impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  }
) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) )  /\  (
g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8685expdimp 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  ->  -.  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
8786expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( g finSupp  .0.  ->  ( ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) )
8887impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
8988pm2.01d 169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )
9089olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
91 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  -.  g finSupp  .0.  )
9291orcd 392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  g finSupp  .0.  /\  (
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ) )  ->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9390, 92pm2.61ian 790 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  /\  g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) )  -> 
( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
9493ralrimiva 2857 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
95 ralnex 2889 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
96 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  ( -.  g finSupp  .0. 
\/  -.  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) )
9796ralbii 2874 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) )  -.  ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9895, 97bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) )  <->  A. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( -.  g finSupp  .0.  \/  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
9994, 98sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )
10099intnand 916 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
1013ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  M  e.  LMod )
1021ssdifssd 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
103102ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  C_  ( Base `  M ) )
104 difexg 4585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
106 elpwg 4005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  \  { s } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
108103, 107mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
109108adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
11016lspeqlco 32775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) )  =  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  {
s } ) ) )
111110eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
112111bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y ( .s `  M ) s )  e.  ( M LinCo  ( S  \  { s } ) ) ) )
113101, 109, 112syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( y
( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) ) ) )
1143adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  M  e.  LMod )
115 difexg 4585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  _V )
116115, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  (
( S  \  {
s } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { s } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
117102, 116mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
118117ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
119114, 118jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
120119adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) ) )
12116, 17, 18lcoval 32748 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp 
( 0g `  R
)  /\  ( y
( .s `  M
) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) ) ) ) )
12219eqcomi 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
123122breq2i 4445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g finSupp 
( 0g `  R
)  <->  g finSupp  .0.  )
124123anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  (
y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M ) ( S 
\  { s } ) ) )  <->  ( g finSupp  .0. 
/\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
125124rexbii 2945 . . . . . . . . 9  |-  ( E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  ( 0g `  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) )  <->  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) )
126125anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
s } ) ) ( g finSupp  ( 0g
`  R )  /\  ( y ( .s
`  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M )
( S  \  {
s } ) ) ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) )
127121, 126syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  ( S  \  { s } )  e.  ~P ( Base `  M ) )  ->  ( ( y ( .s `  M
) s )  e.  ( M LinCo  ( S 
\  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
128120, 127syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( M LinCo 
( S  \  {
s } ) )  <-> 
( ( y ( .s `  M ) s )  e.  (
Base `  M )  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
129113, 128bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (
( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) )  <->  ( (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( Base `  M
)  /\  E. g  e.  ( B  ^m  ( S  \  { s } ) ) ( g finSupp  .0.  /\  ( y ( .s `  M ) s )  =  ( g ( linC  `  M
) ( S  \  { s } ) ) ) ) ) )
130100, 129mtbird 301 . . . 4  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S ) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  /\  (
s  e.  S  /\  y  e.  ( B  \  {  .0.  } ) ) )  ->  -.  ( y ( .s
`  M ) s )  e.  ( (
LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
131130ralrimivva 2864 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) )
1322, 131jca 532 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) )
133132ex 434 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( B  ^m  S
) ( ( f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  .0.  )
)  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. y  e.  ( B  \  {  .0.  } )  -.  (
y ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14613  Scalarcsca 14681   .scvsca 14682   0gc0g 14818   Grpcgrp 16031   invgcminusg 16032   LModclmod 17490   LSpanclspn 17595   linC clinc 32740   LinCo clinco 32741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-lsp 17596  df-linc 32742  df-lco 32743
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