Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslininds Structured version   Unicode version

Theorem lindslininds 38509
Description: Equivalence of definitions df-linds 19024 and df-lininds 38487 for (linear) independency for (left) modules. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
lindslininds  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S linIndS  M  <->  S  e.  (LIndS `  M ) ) )

Proof of Theorem lindslininds
Dummy variables  f 
g  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . . 4  |-  (Scalar `  M )  =  (Scalar `  M )
2 eqid 2400 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  =  ( Base `  (Scalar `  M )
)
3 eqid 2400 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
)
4 eqid 2400 . . . 4  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
51, 2, 3, 4lindslinindsimp1 38502 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )  -> 
( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. g  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  M ) ) } )  -.  ( g ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4lindslinindsimp2 38508 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. g  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  M ) ) } )  -.  ( g ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  A. f  e.  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  S
) ( ( f finSupp 
( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) ) ) )
75, 6impbid 191 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( ( S  e. 
~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. g  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } )  -.  (
g ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
8 eqid 2400 . . 3  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
98, 4, 1, 2, 3islininds 38491 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S linIndS  M  <->  ( S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  A. f  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  S ) ( ( f finSupp  ( 0g `  (Scalar `  M ) )  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( 0g `  M ) )  ->  A. x  e.  S  ( f `  x
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  M )
) ) ) ) )
10 eqid 2400 . . . 4  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
11 eqid 2400 . . . 4  |-  ( LSpan `  M )  =  (
LSpan `  M )
128, 10, 11, 1, 2, 3islinds2 19030 . . 3  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( S  e.  (LIndS `  M
)  <->  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  A. s  e.  S  A. g  e.  (
( Base `  (Scalar `  M
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  M ) ) } )  -.  ( g ( .s `  M
) s )  e.  ( ( LSpan `  M
) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
1312adantl 464 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S  e.  (LIndS `  M )  <->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  A. s  e.  S  A. g  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  M ) ) } )  -.  (
g ( .s `  M ) s )  e.  ( ( LSpan `  M ) `  ( S  \  { s } ) ) ) ) )
147, 9, 133bitr4d 285 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  -> 
( S linIndS  M  <->  S  e.  (LIndS `  M ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751    \ cdif 3408    C_ wss 3411   ~Pcpw 3952   {csn 3969   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    ^m cmap 7375   finSupp cfsupp 7781   Basecbs 14731  Scalarcsca 14802   .scvsca 14803   0gc0g 14944   LModclmod 17722   LSpanclspn 17827  LIndSclinds 19022   linC clinc 38449   linIndS clininds 38485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-mulg 16274  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-lmod 17724  df-lss 17789  df-lsp 17828  df-lindf 19023  df-linds 19024  df-linc 38451  df-lco 38452  df-lininds 38487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator