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Theorem lindslinindimp2lem4 31105
Description: Lemma 4 for lindslinindsimp2 31107. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lindslinind.y  |-  Y  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
lindslinind.g  |-  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
Distinct variable groups:    B, f,
y    f, M, y    R, f, x    S, f, x, y    y, V    f, Z, y    .0. , f, x, y    y, G
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)    G( x, f)    M( x)    V( x, f)    Y( x, y, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem4
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
21adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  M  e.  LMod )
3 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
4 elpwg 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
63, 5mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M
) )
7 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  x  e.  S )
92, 6, 83jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
109adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )
11 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )
)
12 lindslinind.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x }
) )
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) )
14 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
15 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
16 lindslinind.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
17 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
18 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2014, 15, 16, 17, 18, 19lincdifsn 31068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  G  =  (
f  |`  ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
2110, 11, 13, 20syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ( +g  `  M
) ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
2221eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  Z ) )
23 lmodgrp 17070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
2423adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  Grp )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  M  e.  Grp )
261ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
27 elmapi 7337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  f : S --> B )
28 ffvelrn 5943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : S --> B  /\  x  e.  S )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
2928expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3029ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : S --> B  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3227, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3433imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
35 ssel2 3452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
3635ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
3714, 15, 17, 16lmodvscl 17080 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f `  x )  e.  B  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3826, 34, 36, 37syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x )  e.  (
Base `  M )
)
39 difexg 4541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
41 ssdifss 3588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )
4241ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
4340, 42jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( S 
\  { x }
)  e.  _V  /\  ( S  \  { x } )  C_  ( Base `  M ) ) )
45 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )
46 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
4746ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M ) )
487ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  x  e.  S
)
49 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  f  e.  ( B  ^m  S
) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  S ) )
51 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
52 lindslinind.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
5315, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem2 31103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S  /\  f  e.  ( B  ^m  S ) ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) )
5445, 47, 48, 50, 53syl13anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )
5715, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem3 31104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )
)  ->  G finSupp  .0.  )
5845, 56, 11, 57syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
5954, 58jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) )  /\  G finSupp  .0.  ) )
6014, 15, 16, 19lincfsuppcl 31057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( S  \  {
x } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )  /\  ( G  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) )  /\  G finSupp  .0.  )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  e.  ( Base `  M
) )
6126, 44, 59, 60syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  e.  (
Base `  M )
)
62 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
6314, 18, 51, 62grpinvid2 15698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x )  e.  ( Base `  M )  /\  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  {
x } ) )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  <-> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  Z ) )
6425, 38, 61, 63syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  ( ( G ( linC  `  M ) ( S  \  {
x } ) ) ( +g  `  M
) ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  Z ) )
6522, 64bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
66 eqcom 2460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  <-> 
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
6715fveq2i 5795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6816, 67eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6968oveq1i 6203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  =  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )
7054, 69syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
71 elpwg 3969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  { x } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7240, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7342, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
75 lincval 31053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { x } ) )  /\  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
7626, 70, 74, 75syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) ) )
7776eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  <->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( G `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) )
7812fveq1i 5793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 y )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y ) )
80 fvres 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( S  \  { x } )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 y )  =  ( f `  y
) )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y )  =  ( f `  y ) )
8279, 81eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( f `
 y ) )
8382oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y )  =  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) )
8483mpteq2dva 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( y  e.  ( S  \  {
x } )  |->  ( ( G `  y
) ( .s `  M ) y ) )  =  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )
8584oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) ) )
86 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
8728ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : S --> B  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  e.  B ) )
8827, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  S  ->  (
f  e.  ( B  ^m  S )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9089ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( B  ^m  S )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9190com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9392imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
9414, 15, 17, 62, 16, 86, 26, 36, 93lmodvsneg 17104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9552eqcomi 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) )  =  Y
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  =  Y )
9796oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( Y ( .s `  M ) x ) )
9894, 97eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
9985, 98eqeq12d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( M 
gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  <-> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10099biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( M 
gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) ) )
10177, 100sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  -> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10266, 101syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10365, 102sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) ) )
104103ex 434 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) ) )
105104com23 78 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) ) )
1061053impia 1185 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
107106com12 31 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
1081073impia 1185 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    C_ wss 3429   ~Pcpw 3961   {csn 3978   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    |` cres 4943   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   finSupp cfsupp 7724   Basecbs 14285   +g cplusg 14349  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353   0gc0g 14489    gsumg cgsu 14490   Grpcgrp 15521   invgcminusg 15522   LModclmod 17063   linC clinc 31048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-abl 16393  df-mgp 16706  df-ur 16718  df-rng 16762  df-lmod 17065  df-linc 31050
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2lem5  31106
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