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Theorem lindslinindimp2lem4 33316
Description: Lemma 4 for lindslinindsimp2 33318. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r  |-  R  =  (Scalar `  M )
lindslinind.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
lindslinind.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
lindslinind.z  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
lindslinind.y  |-  Y  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
lindslinind.g  |-  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x }
) )
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
Distinct variable groups:    B, f,
y    f, M, y    R, f, x    S, f, x, y    y, V    f, Z, y    .0. , f, x, y    y, G
Allowed substitution hints:    B( x)    R( y)    G( x, f)    M( x)    V( x, f)    Y( x, y, f)    Z( x)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem4
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  LMod )
21adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  M  e.  LMod )
3 simprl 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
4 elpwg 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
54ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  e.  ~P ( Base `  M )  <->  S  C_  ( Base `  M ) ) )
63, 5mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  S  e.  ~P ( Base `  M
) )
7 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  x  e.  S )
92, 6, 83jca 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
109adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( M  e. 
LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )
11 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )
)
12 lindslinind.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x }
) )
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  =  ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) )
14 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  M )
15 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (Scalar `  M )
16 lindslinind.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
17 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
18 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2014, 15, 16, 17, 18, 19lincdifsn 33279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  S  e.  ~P ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  G  =  (
f  |`  ( S  \  { x } ) ) )  ->  (
f ( linC  `  M
) S )  =  ( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) ) )
2110, 11, 13, 20syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f ( linC  `  M ) S )  =  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ( +g  `  M
) ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) )
2221eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  Z ) )
23 lmodgrp 17714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. 
Grp )
2423adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  ->  M  e.  Grp )
2524ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  M  e.  Grp )
261ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  M  e.  LMod )
27 elmapi 7433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  f : S --> B )
28 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : S --> B  /\  x  e.  S )  ->  ( f `  x
)  e.  B )
2928expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  S  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3029ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f : S --> B  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : S --> B  -> 
( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3227, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
3433imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
35 ssel2 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  M
) )
3635ad2antll 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  x  e.  (
Base `  M )
)
3714, 15, 17, 16lmodvscl 17724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
f `  x )  e.  B  /\  x  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x )  e.  ( Base `  M
) )
3826, 34, 36, 37syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x )  e.  (
Base `  M )
)
39 difexg 4585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  V  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
4039ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  _V )
41 ssdifss 3621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ( Base `  M
)  ->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )
4241ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  C_  ( Base `  M ) )
4340, 42jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
4443adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( S 
\  { x }
)  e.  _V  /\  ( S  \  { x } )  C_  ( Base `  M ) ) )
45 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod ) )
46 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  M
) )
4746ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  S  C_  ( Base `  M ) )
487ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  x  e.  S
)
49 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  f  e.  ( B  ^m  S
) )
5049adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  S ) )
51 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( 0g `  M
)
52 lindslinind.y . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  ( ( invg `  R ) `  (
f `  x )
)
5315, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem2 33314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S  /\  f  e.  ( B  ^m  S ) ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) ) )
5445, 47, 48, 50, 53syl13anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  e.  ( B  ^m  ( S 
\  { x }
) ) )
55 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )
5655adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )
5715, 16, 19, 51, 52, 12lindslinindimp2lem3 33315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )
)  ->  G finSupp  .0.  )
5845, 56, 11, 57syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G finSupp  .0.  )
5954, 58jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G  e.  ( B  ^m  ( S  \  { x }
) )  /\  G finSupp  .0.  ) )
6014, 15, 16, 19lincfsuppcl 33268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  (
( S  \  {
x } )  e. 
_V  /\  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) )  /\  ( G  e.  ( B  ^m  ( S  \  {
x } ) )  /\  G finSupp  .0.  )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  e.  ( Base `  M
) )
6126, 44, 59, 60syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  e.  (
Base `  M )
)
62 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  M )  =  ( invg `  M )
6314, 18, 51, 62grpinvid2 16298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Grp  /\  ( ( f `  x ) ( .s
`  M ) x )  e.  ( Base `  M )  /\  ( G ( linC  `  M ) ( S  \  {
x } ) )  e.  ( Base `  M
) )  ->  (
( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  <-> 
( ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) ) ( +g  `  M ) ( ( f `  x ) ( .s `  M
) x ) )  =  Z ) )
6425, 38, 61, 63syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  <->  ( ( G ( linC  `  M ) ( S  \  {
x } ) ) ( +g  `  M
) ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  Z ) )
6522, 64bitr4d 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  <-> 
( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) ) ) )
66 eqcom 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) )  =  ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  <-> 
( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( ( invg `  M ) `  (
( f `  x
) ( .s `  M ) x ) ) )
6715fveq2i 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
6816, 67eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
6968oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  ^m  ( S  \  { x } ) )  =  ( (
Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  ( S  \  { x }
) )
7054, 69syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { x } ) ) )
71 elpwg 4007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  \  { x } )  e.  _V  ->  ( ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7240, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( S  \  {
x } )  e. 
~P ( Base `  M
)  <->  ( S  \  { x } ) 
C_  ( Base `  M
) ) )
7342, 72mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( S  \  { x }
)  e.  ~P ( Base `  M ) )
7473adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M ) )
75 lincval 33264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  G  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  ( S  \  { x } ) )  /\  ( S  \  { x } )  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( G
( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) ) )
7626, 70, 74, 75syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) ) )
7776eqeq1d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  <->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S 
\  { x }
)  |->  ( ( G `
 y ) ( .s `  M ) y ) ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) ) ) )
7812fveq1i 5849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 y )  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y ) )
80 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( S  \  { x } )  ->  ( ( f  |`  ( S  \  {
x } ) ) `
 y )  =  ( f `  y
) )
8180adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( f  |`  ( S  \  { x } ) ) `  y )  =  ( f `  y ) )
8279, 81eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( f `
 y ) )
8382oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  /\  y  e.  ( S  \  { x } ) )  -> 
( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y )  =  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) )
8483mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( y  e.  ( S  \  {
x } )  |->  ( ( G `  y
) ( .s `  M ) y ) )  =  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )
8584oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( G `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
8728ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : S --> B  -> 
( x  e.  S  ->  ( f `  x
)  e.  B ) )
8827, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
x  e.  S  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
8988com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  S  ->  (
f  e.  ( B  ^m  S )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9089ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( B  ^m  S )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9190com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  ( B  ^m  S )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9291adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( f `  x
)  e.  B ) )
9392imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  B
)
9414, 15, 17, 62, 16, 86, 26, 36, 93lmodvsneg 17749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  ( ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x ) )
9552eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) )  =  Y
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( f `  x ) )  =  Y )
9796oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( f `  x ) ) ( .s `  M ) x )  =  ( Y ( .s `  M ) x ) )
9894, 97eqtrd 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
9985, 98eqeq12d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( M 
gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  <-> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10099biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( M 
gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( G `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) ) )
10177, 100sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( G ( linC  `  M )
( S  \  {
x } ) )  =  ( ( invg `  M ) `
 ( ( f `
 x ) ( .s `  M ) x ) )  -> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10266, 101syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( ( invg `  M
) `  ( (
f `  x )
( .s `  M
) x ) )  =  ( G ( linC  `  M ) ( S 
\  { x }
) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
10365, 102sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  /\  ( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) ) )  ->  ( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) ) )
104103ex 432 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) ) )
105104com23 78 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  )  ->  (
( f ( linC  `  M ) S )  =  Z  ->  (
( ( S  e.  V  /\  M  e. 
LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M
)  /\  x  e.  S ) )  -> 
( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) ) )
1061053impia 1191 . . 3  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z )  ->  ( (
( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
107106com12 31 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( B  ^m  S )  /\  f finSupp  .0.  /\  (
f ( linC  `  M
) S )  =  Z )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } )  |->  ( ( f `  y ) ( .s `  M
) y ) ) )  =  ( Y ( .s `  M
) x ) ) )
1081073impia 1191 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  M  e.  LMod )  /\  ( S  C_  ( Base `  M )  /\  x  e.  S
)  /\  ( f  e.  ( B  ^m  S
)  /\  f finSupp  .0.  /\  ( f ( linC  `  M ) S )  =  Z ) )  ->  ( M  gsumg  ( y  e.  ( S  \  { x } ) 
|->  ( ( f `  y ) ( .s
`  M ) y ) ) )  =  ( Y ( .s
`  M ) x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   finSupp cfsupp 7821   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Grpcgrp 16252   invgcminusg 16253   LModclmod 17707   linC clinc 33259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-linc 33261
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2lem5  33317
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