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Theorem lindfrn 19310
Description: The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfrn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)

Proof of Theorem lindfrn
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 19304 . . . 4  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 454 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
4 frn 5752 . . 3  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  C_  ( Base `  W )
)
6 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  W  e.  LMod )
7 imassrn 5199 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ran  F
87, 5syl5ss 3481 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W ) )
98adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) 
C_  ( Base `  W
) )
10 ffun 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  Fun  F )
113, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  Fun  F )
12 eldifsn 4128 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y )
) )
13 funfn 5630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
14 fvelrnb 5928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
1513, 14sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `
 k )  =  x ) )
1615adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
17 difss 3598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  \  { y } )  C_  dom  F
1817jctr 544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } ) 
C_  dom  F )
)
1918ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( Fun  F  /\  ( dom  F  \  {
y } )  C_  dom  F ) )
20 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  dom  F )
21 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
2221necon3i 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  k  =/=  y )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  =/=  y
)
24 eldifsn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  k  =/=  y
) )
2520, 23, 24sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  ( dom  F  \  {
y } ) )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
k  e.  ( dom 
F  \  { y } ) )
27 funfvima2 6156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } )  C_  dom  F )  ->  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
2819, 26, 27sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )
2928expr 618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y
)  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
30 neeq1 2712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  ( F `  y ) ) )
31 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  <->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3230, 31imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  ( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )  <->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3329, 32syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) ) )
3433rexlimdva 2924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( E. k  e. 
dom  F ( F `
 k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3516, 34sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3635impd 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( x  e. 
ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y
) )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3712, 36syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3837ssrdv 3476 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) )
3911, 38sylan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) 
C_  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) )
40 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
411, 40lspss 18142 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  C_  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
426, 9, 39, 41syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
4342adantrr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
44 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
45 simprl 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  y  e.  dom  F )
46 eldifi 3593 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4746ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
48 eldifsni 4129 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
4948ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
50 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
51 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
52 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
53 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5450, 40, 51, 52, 53lindfind 19305 . . . . . 6  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
5544, 45, 47, 49, 54syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5643, 55ssneldd 3473 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { ( F `
 y ) } ) ) )
5756ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) )
5811, 13sylib 199 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F  Fn  dom  F )
59 oveq2 6313 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
k ( .s `  W ) x )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `  y
) ) )
60 sneq 4012 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  { x }  =  { ( F `  y ) } )
6160difeq2d 3589 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ran  F  \  { x } )  =  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) )
6261fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) )
6359, 62eleq12d 2511 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <-> 
( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6463notbid 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6564ralbidv 2871 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6665ralrn 6040 . . . 4  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6758, 66syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6857, 67mpbird 235 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) )
691, 50, 40, 51, 53, 52islinds2 19302 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ran 
F  e.  (LIndS `  W )  <->  ( ran  F 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
7069adantr 466 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( ran  F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( ran  F  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
715, 68, 70mpbir2and 930 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   0gc0g 15297   LModclmod 18026   LSpanclspn 18129   LIndF clindf 19293  LIndSclinds 19294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-slot 15088  df-base 15089  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lindf 19295  df-linds 19296
This theorem is referenced by:  islindf3  19315  lindsmm  19317
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