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Theorem lindfrn 18651
Description: The range of an independent family is an independent set. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lindfrn  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)

Proof of Theorem lindfrn
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
21lindff 18645 . . . 4  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W ) )
32ancoms 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> ( Base `  W
) )
4 frn 5737 . . 3  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  ran  F 
C_  ( Base `  W
) )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  C_  ( Base `  W )
)
6 simpll 753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  W  e.  LMod )
7 imassrn 5348 . . . . . . . . 9  |-  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ran  F
87, 5syl5ss 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W ) )
98adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) 
C_  ( Base `  W
) )
10 ffun 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F : dom  F --> ( Base `  W )  ->  Fun  F )
113, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  Fun  F )
12 eldifsn 4152 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  <-> 
( x  e.  ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y )
) )
13 funfn 5617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
14 fvelrnb 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
1513, 14sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  ->  ( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `
 k )  =  x ) )
1615adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  <->  E. k  e.  dom  F ( F `  k
)  =  x ) )
17 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
F  \  { y } )  C_  dom  F
1817jctr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun 
F  ->  ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } ) 
C_  dom  F )
)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( Fun  F  /\  ( dom  F  \  {
y } )  C_  dom  F ) )
20 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  dom  F )
21 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  y  ->  ( F `  k )  =  ( F `  y ) )
2221necon3i 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  k  =/=  y )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  =/=  y
)
24 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  <-> 
( k  e.  dom  F  /\  k  =/=  y
) )
2520, 23, 24sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  =/=  ( F `
 y ) )  ->  k  e.  ( dom  F  \  {
y } ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
k  e.  ( dom 
F  \  { y } ) )
27 funfvima2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  ( dom  F  \  { y } )  C_  dom  F )  ->  ( k  e.  ( dom  F  \  { y } )  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
2819, 26, 27sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  =/=  ( F `  y
) ) )  -> 
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )
2928expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =/=  ( F `  y
)  ->  ( F `  k )  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
30 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  ( F `  y ) ) )
31 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  <->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  =  x  ->  (
( ( F `  k )  =/=  ( F `  y )  ->  ( F `  k
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )  <->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3329, 32syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( ( F `  k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) ) )
3433rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( E. k  e. 
dom  F ( F `
 k )  =  x  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3516, 34sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ran  F  ->  ( x  =/=  ( F `  y
)  ->  x  e.  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) ) )
3635impd 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( x  e. 
ran  F  /\  x  =/=  ( F `  y
) )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3712, 36syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  ->  x  e.  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
3837ssrdv 3510 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ran  F  \  {
( F `  y
) } )  C_  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) )
3911, 38sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) 
C_  ( F "
( dom  F  \  {
y } ) ) )
40 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
411, 40lspss 17430 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( Base `  W )  /\  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } )  C_  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
426, 9, 39, 41syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  y  e.  dom  F )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
4342adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
44 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  F LIndF  W )
45 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  y  e.  dom  F )
46 eldifi 3626 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
4746ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
48 eldifsni 4153 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  W
) ) } )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
4948ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) )
50 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
51 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
52 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
53 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5450, 40, 51, 52, 53lindfind 18646 . . . . . 6  |-  ( ( ( F LIndF  W  /\  y  e.  dom  F )  /\  ( k  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  k  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )  ->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
5544, 45, 47, 49, 54syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
5643, 55ssneldd 3507 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  /\  ( y  e.  dom  F  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } ) ) )  ->  -.  ( k
( .s `  W
) ( F `  y ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { ( F `
 y ) } ) ) )
5756ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) )
5811, 13sylib 196 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  F  Fn  dom  F )
59 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
k ( .s `  W ) x )  =  ( k ( .s `  W ) ( F `  y
) ) )
60 sneq 4037 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  { x }  =  { ( F `  y ) } )
6160difeq2d 3622 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( ran  F  \  { x } )  =  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) )
6261fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  =  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) )
6359, 62eleq12d 2549 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <-> 
( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6463notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  W ) x )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
x } ) )  <->  -.  ( k ( .s
`  W ) ( F `  y ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  {
( F `  y
) } ) ) ) )
6564ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6665ralrn 6024 . . . 4  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6758, 66syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  ( k ( .s `  W
) x )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ran  F 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  dom  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) ( F `
 y ) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { ( F `  y ) } ) ) ) )
6857, 67mpbird 232 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) )
691, 50, 40, 51, 53, 52islinds2 18643 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ran 
F  e.  (LIndS `  W )  <->  ( ran  F 
C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
7069adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ( ran  F  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( ran  F  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  ran  F A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  W ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  W ) ) } )  -.  (
k ( .s `  W ) x )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ran  F  \  { x } ) ) ) ) )
715, 68, 70mpbir2and 920 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  e.  (LIndS `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695   LModclmod 17312   LSpanclspn 17417   LIndF clindf 18634  LIndSclinds 18635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-slot 14494  df-base 14495  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lindf 18636  df-linds 18637
This theorem is referenced by:  islindf3  18656  lindsmm  18658
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