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Theorem lindfmm 18256
Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lindfmm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
lindfmm  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 18237 . . . . 5  |-  Rel LIndF
21brrelexi 4879 . . . 4  |-  ( F LIndF 
S  ->  F  e.  _V )
3 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  ->  F : I --> B )
4 dmfex 6535 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : I --> B )  ->  I  e.  _V )
52, 3, 4syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  F LIndF  S )  ->  I  e.  _V )
65ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  ->  I  e.  _V ) )
71brrelexi 4879 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) LIndF 
T  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
8 f1f 5606 . . . . . 6  |-  ( G : B -1-1-> C  ->  G : B --> C )
9 fco 5568 . . . . . 6  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
108, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
11103adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
12 dmfex 6535 . . . 4  |-  ( ( ( G  o.  F
)  e.  _V  /\  ( G  o.  F
) : I --> C )  ->  I  e.  _V )
137, 11, 12syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  ( G  o.  F ) LIndF  T )  ->  I  e.  _V )
1413ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  ->  I  e.  _V ) )
15 eldifi 3478 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  S
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  S
) ) )
16 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G : B -1-1-> C )
17 lmhmlmod1 17114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  S  e.  LMod )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S
) ) )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F : I --> B )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S )
) )  ->  x  e.  I )
22 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  B
)
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  S )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
)
2824, 25, 26, 27lmodvscl 16965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B )
2918, 19, 23, 28syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  B )
30 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( I  \  { x } ) )  C_  ran  F
31 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  ran  F  C_  B )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ran  F  C_  B
)
3330, 32syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ( F " (
I  \  { x } ) )  C_  B )
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F " ( I  \  {
x } ) ) 
C_  B )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSpan `  S )  =  (
LSpan `  S )
3624, 35lspssv 17064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )
3718, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  C_  B )
38 f1elima 5976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B  /\  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )  ->  ( ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  e.  ( G " ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) )  <-> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
3916, 29, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) ) )
40 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 17116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( G `  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) ) )  =  ( k ( .s `  T
) ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4340, 19, 23, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
44 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F  Fn  I )
46 fvco2 5766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
4745, 21, 46syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
4847oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  =  ( k ( .s
`  T ) ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
4943, 48eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )
50 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( LSpan `  T )  =  (
LSpan `  T )
5124, 35, 50lmhmlsp 17130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( G " (
( LSpan `  S ) `  ( F " (
I  \  { x } ) ) ) )  =  ( (
LSpan `  T ) `  ( G " ( F
" ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5240, 34, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
53 imaco 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  o.  F )
" ( I  \  { x } ) )  =  ( G
" ( F "
( I  \  {
x } ) ) )
5453fveq2i 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F "
( I  \  {
x } ) ) ) )
5552, 54syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) ) )
5649, 55eleq12d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5739, 56bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5857notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
5958anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) )  ->  ( -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
6015, 59sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )  -> 
( -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
6160ralbidva 2731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
62 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6325, 62lmhmsca 17111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  (Scalar `  S ) )
6463fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
) )
6563fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( 0g `  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
) )
6665sneqd 3889 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  { ( 0g `  (Scalar `  T
) ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )
6764, 66difeq12d 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6867ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6968raleqdv 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  ( k ( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7061, 69bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7170ralbidva 2731 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7217ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  S  e.  LMod )
73 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  I  e.  _V )
74 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 18243 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
7672, 73, 20, 75syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
77 lmhmlmod2 17113 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
7877ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  T  e.  LMod )
7910ad2ant2lr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
80 lindfmm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
81 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
82 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 18243 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  ( G  o.  F ) : I --> C )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8478, 73, 79, 83syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8571, 76, 843bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
8685exp32 605 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C )  -> 
( F : I --> B  ->  ( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <-> 
( G  o.  F
) LIndF  T ) ) ) )
87863impia 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) ) )
886, 14, 87pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   class class class wbr 4292   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   0gc0g 14378   LModclmod 16948   LSpanclspn 17052   LMHom clmhm 17100   LIndF clindf 18233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-ghm 15745  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lmhm 17103  df-lindf 18235
This theorem is referenced by:  lindsmm  18257
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