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Theorem lindfmm 18626
Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lindfmm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
lindfmm  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 18607 . . . . 5  |-  Rel LIndF
21brrelexi 5039 . . . 4  |-  ( F LIndF 
S  ->  F  e.  _V )
3 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  ->  F : I --> B )
4 dmfex 6739 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : I --> B )  ->  I  e.  _V )
52, 3, 4syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  F LIndF  S )  ->  I  e.  _V )
65ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  ->  I  e.  _V ) )
71brrelexi 5039 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) LIndF 
T  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
8 f1f 5779 . . . . . 6  |-  ( G : B -1-1-> C  ->  G : B --> C )
9 fco 5739 . . . . . 6  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
108, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
11103adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
12 dmfex 6739 . . . 4  |-  ( ( ( G  o.  F
)  e.  _V  /\  ( G  o.  F
) : I --> C )  ->  I  e.  _V )
137, 11, 12syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  ( G  o.  F ) LIndF  T )  ->  I  e.  _V )
1413ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  ->  I  e.  _V ) )
15 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  S
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  S
) ) )
16 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G : B -1-1-> C )
17 lmhmlmod1 17459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
1817ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  S  e.  LMod )
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S
) ) )
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F : I --> B )
21 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S )
) )  ->  x  e.  I )
22 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2320, 21, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  B
)
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  S )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
)
2824, 25, 26, 27lmodvscl 17309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B )
2918, 19, 23, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  B )
30 imassrn 5346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( I  \  { x } ) )  C_  ran  F
31 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  ran  F  C_  B )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ran  F  C_  B
)
3330, 32syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ( F " (
I  \  { x } ) )  C_  B )
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F " ( I  \  {
x } ) ) 
C_  B )
35 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSpan `  S )  =  (
LSpan `  S )
3624, 35lspssv 17409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )
3718, 34, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  C_  B )
38 f1elima 6157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B  /\  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )  ->  ( ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  e.  ( G " ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) )  <-> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
3916, 29, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) ) )
40 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 17461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( G `  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) ) )  =  ( k ( .s `  T
) ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4340, 19, 23, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
44 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F  Fn  I )
46 fvco2 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
4745, 21, 46syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
4847oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  =  ( k ( .s
`  T ) ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
4943, 48eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( LSpan `  T )  =  (
LSpan `  T )
5124, 35, 50lmhmlsp 17475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( G " (
( LSpan `  S ) `  ( F " (
I  \  { x } ) ) ) )  =  ( (
LSpan `  T ) `  ( G " ( F
" ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5240, 34, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
53 imaco 5510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  o.  F )
" ( I  \  { x } ) )  =  ( G
" ( F "
( I  \  {
x } ) ) )
5453fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F "
( I  \  {
x } ) ) ) )
5552, 54syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) ) )
5649, 55eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5739, 56bitr3d 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5857notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
5958anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) )  ->  ( -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
6015, 59sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )  -> 
( -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
6160ralbidva 2900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
62 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6325, 62lmhmsca 17456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  (Scalar `  S ) )
6463fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
) )
6563fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( 0g `  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
) )
6665sneqd 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  { ( 0g `  (Scalar `  T
) ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )
6764, 66difeq12d 3623 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6867ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6968raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  ( k ( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7061, 69bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7170ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7217ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  S  e.  LMod )
73 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  I  e.  _V )
74 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 18613 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
7672, 73, 20, 75syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
77 lmhmlmod2 17458 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
7877ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  T  e.  LMod )
7910ad2ant2lr 747 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
80 lindfmm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
81 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
82 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 18613 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  ( G  o.  F ) : I --> C )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8478, 73, 79, 83syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8571, 76, 843bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
8685exp32 605 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C )  -> 
( F : I --> B  ->  ( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <-> 
( G  o.  F
) LIndF  T ) ) ) )
87863impia 1193 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) ) )
886, 14, 87pm5.21ndd 354 1  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14483  Scalarcsca 14551   .scvsca 14552   0gc0g 14688   LModclmod 17292   LSpanclspn 17397   LMHom clmhm 17445   LIndF clindf 18603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-ghm 16057  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lmhm 17448  df-lindf 18605
This theorem is referenced by:  lindsmm  18627
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