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Theorem lindfmm 19397
Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
lindfmm.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
Assertion
Ref Expression
lindfmm  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 19378 . . . . 5  |-  Rel LIndF
21brrelexi 4878 . . . 4  |-  ( F LIndF 
S  ->  F  e.  _V )
3 simp3 1011 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  ->  F : I --> B )
4 dmfex 6756 . . . 4  |-  ( ( F  e.  _V  /\  F : I --> B )  ->  I  e.  _V )
52, 3, 4syl2anr 481 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  F LIndF  S )  ->  I  e.  _V )
65ex 436 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  ->  I  e.  _V ) )
71brrelexi 4878 . . . 4  |-  ( ( G  o.  F ) LIndF 
T  ->  ( G  o.  F )  e.  _V )
8 f1f 5784 . . . . . 6  |-  ( G : B -1-1-> C  ->  G : B --> C )
9 fco 5744 . . . . . 6  |-  ( ( G : B --> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
108, 9sylan 474 . . . . 5  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  ->  ( G  o.  F ) : I --> C )
11103adant1 1027 . . . 4  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
12 dmfex 6756 . . . 4  |-  ( ( ( G  o.  F
)  e.  _V  /\  ( G  o.  F
) : I --> C )  ->  I  e.  _V )
137, 11, 12syl2anr 481 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F : I --> B )  /\  ( G  o.  F ) LIndF  T )  ->  I  e.  _V )
1413ex 436 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  ->  I  e.  _V ) )
15 eldifi 3557 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S )
)  \  { ( 0g `  (Scalar `  S
) ) } )  ->  k  e.  (
Base `  (Scalar `  S
) ) )
16 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G : B -1-1-> C )
17 lmhmlmod1 18268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
1817ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  S  e.  LMod )
19 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S
) ) )
20 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F : I --> B )
21 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S )
) )  ->  x  e.  I )
22 ffvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2320, 21, 22syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  B
)
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  S
)
25 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Scalar `  S )  =  (Scalar `  S )
26 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .s
`  S )  =  ( .s `  S
)
27 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  (Scalar `  S )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
)
2824, 25, 26, 27lmodvscl 18120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B )
2918, 19, 23, 28syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  B )
30 imassrn 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( I  \  { x } ) )  C_  ran  F
31 frn 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  ran  F  C_  B )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ran  F  C_  B
)
3330, 32syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )  ->  ( F " (
I  \  { x } ) )  C_  B )
3433ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( F " ( I  \  {
x } ) ) 
C_  B )
35 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( LSpan `  S )  =  (
LSpan `  S )
3624, 35lspssv 18218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )
3718, 34, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  C_  B )
38 f1elima 6169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : B -1-1-> C  /\  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  B  /\  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  C_  B )  ->  ( ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  e.  ( G " ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) )  <-> 
( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
3916, 29, 37, 38syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) ) )
40 simplll 769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  G  e.  ( S LMHom  T ) )
41 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .s
`  T )  =  ( .s `  T
)
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 18270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( G `  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) ) )  =  ( k ( .s `  T
) ( G `  ( F `  x ) ) ) )
4340, 19, 23, 42syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( G `
 ( F `  x ) ) ) )
44 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
4544ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  F  Fn  I )
46 fvco2 5945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x
)  =  ( G `
 ( F `  x ) ) )
4745, 21, 46syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G  o.  F ) `  x )  =  ( G `  ( F `
 x ) ) )
4847oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  =  ( k ( .s
`  T ) ( G `  ( F `
 x ) ) ) )
4943, 48eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G `  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) ) )  =  ( k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) ) )
50 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( LSpan `  T )  =  (
LSpan `  T )
5124, 35, 50lmhmlsp 18284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  ( F " ( I  \  { x } ) )  C_  B )  ->  ( G " (
( LSpan `  S ) `  ( F " (
I  \  { x } ) ) ) )  =  ( (
LSpan `  T ) `  ( G " ( F
" ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5240, 34, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
53 imaco 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  o.  F )
" ( I  \  { x } ) )  =  ( G
" ( F "
( I  \  {
x } ) ) )
5453fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( G " ( F "
( I  \  {
x } ) ) ) )
5552, 54syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( G " ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  =  ( ( LSpan `  T ) `  ( ( G  o.  F ) " (
I  \  { x } ) ) ) )
5649, 55eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( ( G `  ( k
( .s `  S
) ( F `  x ) ) )  e.  ( G "
( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5739, 56bitr3d 259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
5857notbid 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  ( x  e.  I  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) ) )  ->  ( -.  ( k ( .s
`  S ) ( F `  x ) )  e.  ( (
LSpan `  S ) `  ( F " ( I 
\  { x }
) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
5958anassrs 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( Base `  (Scalar `  S ) ) )  ->  ( -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
6015, 59sylan2 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T
)  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  /\  k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )  -> 
( -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  -.  ( k
( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
6160ralbidva 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
62 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6325, 62lmhmsca 18265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  (Scalar `  T
)  =  (Scalar `  S ) )
6463fveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  S )
) )
6563fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( 0g `  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
) )
6665sneqd 3982 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  { ( 0g `  (Scalar `  T
) ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )
6764, 66difeq12d 3554 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( ( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6867ad3antrrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  =  ( (
Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } ) )
6968raleqdv 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  T
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  ( k ( .s `  T
) ( ( G  o.  F ) `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  T
) `  ( ( G  o.  F ) " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7061, 69bitr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F : I --> B  /\  I  e.  _V )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( A. k  e.  (
( Base `  (Scalar `  S
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  ( k ( .s `  S
) ( F `  x ) )  e.  ( ( LSpan `  S
) `  ( F " ( I  \  {
x } ) ) )  <->  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7170ralbidva 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) )  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
7217ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  S  e.  LMod )
73 simprr 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  I  e.  _V )
74 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  S )
)
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 19384 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
7672, 73, 20, 75syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  S ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  S ) ) } )  -.  (
k ( .s `  S ) ( F `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  S ) `  ( F " ( I  \  { x } ) ) ) ) )
77 lmhmlmod2 18267 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( S LMHom  T
)  ->  T  e.  LMod )
7877ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  ->  T  e.  LMod )
7910ad2ant2lr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( G  o.  F
) : I --> C )
80 lindfmm.c . . . . . . 7  |-  C  =  ( Base `  T
)
81 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  T )
)  =  ( Base `  (Scalar `  T )
)
82 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 19384 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  _V  /\  ( G  o.  F ) : I --> C )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8478, 73, 79, 83syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( ( G  o.  F ) LIndF  T  <->  A. x  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  (Scalar `  T ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )  -.  (
k ( .s `  T ) ( ( G  o.  F ) `
 x ) )  e.  ( ( LSpan `  T ) `  (
( G  o.  F
) " ( I 
\  { x }
) ) ) ) )
8571, 76, 843bitr4d 289 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  ( S LMHom  T )  /\  G : B -1-1-> C )  /\  ( F :
I --> B  /\  I  e.  _V ) )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
8685exp32 610 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C )  -> 
( F : I --> B  ->  ( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <-> 
( G  o.  F
) LIndF  T ) ) ) )
87863impia 1206 . 2  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  e.  _V  ->  ( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) ) )
886, 14, 87pm5.21ndd 356 1  |-  ( ( G  e.  ( S LMHom 
T )  /\  G : B -1-1-> C  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  S  <->  ( G  o.  F ) LIndF  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   {csn 3970   class class class wbr 4405   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841    Fn wfn 5580   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350   LModclmod 18103   LSpanclspn 18206   LMHom clmhm 18254   LIndF clindf 19374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lmhm 18257  df-lindf 19376
This theorem is referenced by:  lindsmm  19398
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