Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindfmm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lindfmm 19397
 Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindfmm.b
lindfmm.c
Assertion
Ref Expression
lindfmm LMHom LIndF LIndF

Proof of Theorem lindfmm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rellindf 19378 . . . . 5 LIndF
21brrelexi 4878 . . . 4 LIndF
3 simp3 1011 . . . 4 LMHom
4 dmfex 6756 . . . 4
52, 3, 4syl2anr 481 . . 3 LMHom LIndF
65ex 436 . 2 LMHom LIndF
71brrelexi 4878 . . . 4 LIndF
8 f1f 5784 . . . . . 6
9 fco 5744 . . . . . 6
108, 9sylan 474 . . . . 5
11103adant1 1027 . . . 4 LMHom
12 dmfex 6756 . . . 4
137, 11, 12syl2anr 481 . . 3 LMHom LIndF
1413ex 436 . 2 LMHom LIndF
15 eldifi 3557 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar
16 simpllr 770 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
17 lmhmlmod1 18268 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
1817ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
19 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar Scalar
20 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
21 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
22 ffvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . 15
2320, 21, 22syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
24 lindfmm.b . . . . . . . . . . . . . . 15
25 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
26 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar Scalar
2824, 25, 26, 27lmodvscl 18120 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
2918, 19, 23, 28syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
30 imassrn 5182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 frn 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3330, 32syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
35 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15
3624, 35lspssv 18218 . . . . . . . . . . . . . 14
3718, 34, 36syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
38 f1elima 6169 . . . . . . . . . . . . 13
3916, 29, 37, 38syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar
40 simplll 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar LMHom
41 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4225, 27, 24, 26, 41lmhmlin 18270 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar
4340, 19, 23, 42syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
44 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4544ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LMHom
46 fvco2 5945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4745, 21, 46syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom Scalar
4847oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
4943, 48eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
50 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5124, 35, 50lmhmlsp 18284 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
5240, 34, 51syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14 LMHom Scalar
53 imaco 5343 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . 14
5552, 54syl6eqr 2505 . . . . . . . . . . . . 13 LMHom Scalar
5649, 55eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . 12 LMHom Scalar
5739, 56bitr3d 259 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar
5857notbid 296 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar
5958anassrs 654 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar
6015, 59sylan2 477 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar
6160ralbidva 2826 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
62 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12 Scalar Scalar
6325, 62lmhmsca 18265 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
6463fveq2d 5874 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
6563fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11 LMHom Scalar Scalar
6665sneqd 3982 . . . . . . . . . 10 LMHom Scalar Scalar
6764, 66difeq12d 3554 . . . . . . . . 9 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
6867ad3antrrr 737 . . . . . . . 8 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
6968raleqdv 2995 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7061, 69bitr4d 260 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7170ralbidva 2826 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar Scalar Scalar
7217ad2antrr 733 . . . . . 6 LMHom
73 simprr 767 . . . . . 6 LMHom
74 eqid 2453 . . . . . . 7 Scalar Scalar
7524, 26, 35, 25, 27, 74islindf2 19384 . . . . . 6 LIndF Scalar Scalar
7672, 73, 20, 75syl3anc 1269 . . . . 5 LMHom LIndF Scalar Scalar
77 lmhmlmod2 18267 . . . . . . 7 LMHom
7877ad2antrr 733 . . . . . 6 LMHom
7910ad2ant2lr 755 . . . . . 6 LMHom
80 lindfmm.c . . . . . . 7
81 eqid 2453 . . . . . . 7 Scalar Scalar
82 eqid 2453 . . . . . . 7 Scalar Scalar
8380, 41, 50, 62, 81, 82islindf2 19384 . . . . . 6 LIndF Scalar Scalar
8478, 73, 79, 83syl3anc 1269 . . . . 5 LMHom LIndF Scalar Scalar
8571, 76, 843bitr4d 289 . . . 4 LMHom LIndF LIndF
8685exp32 610 . . 3 LMHom LIndF LIndF
87863impia 1206 . 2 LMHom LIndF LIndF
886, 14, 87pm5.21ndd 356 1 LMHom LIndF LIndF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 986   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  cvv 3047   cdif 3403   wss 3406  csn 3970   class class class wbr 4405   crn 4838  cima 4840   ccom 4841   wfn 5580  wf 5581  wf1 5582  cfv 5585  (class class class)co 6295  cbs 15133  Scalarcsca 15205  cvsca 15206  c0g 15350  clmod 18103  clspn 18206   LMHom clmhm 18254   LIndF clindf 19374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-lsp 18207  df-lmhm 18257  df-lindf 19376 This theorem is referenced by:  lindsmm  19398
 Copyright terms: Public domain W3C validator