Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lindff1 Structured version   Unicode version

Theorem lindff1 18724
 Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b
lindff1.l Scalar
Assertion
Ref Expression
lindff1 NzRing LIndF

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3 NzRing LIndF LIndF
2 simp1 996 . . 3 NzRing LIndF
3 lindff1.b . . . 4
43lindff 18719 . . 3 LIndF
51, 2, 4syl2anc 661 . 2 NzRing LIndF
6 simpl1 999 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
7 imassrn 5354 . . . . . . . . . 10
8 frn 5743 . . . . . . . . . . 11
95, 8syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing LIndF
107, 9syl5ss 3520 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
1110adantr 465 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9
133, 12lspssid 17502 . . . . . . . 8
146, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . 7 NzRing LIndF
15 ffun 5739 . . . . . . . . . . 11
165, 15syl 16 . . . . . . . . . 10 NzRing LIndF
1716adantr 465 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
18 simprll 761 . . . . . . . . 9 NzRing LIndF
1917, 18jca 532 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
20 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . 11
2120biimpri 206 . . . . . . . . . 10
2221adantlr 714 . . . . . . . . 9
2322adantl 466 . . . . . . . 8 NzRing LIndF
24 funfvima 6146 . . . . . . . 8
2519, 23, 24sylc 60 . . . . . . 7 NzRing LIndF
2614, 25sseldd 3510 . . . . . 6 NzRing LIndF
27 simpl2 1000 . . . . . . 7 NzRing LIndF NzRing
28 simpl3 1001 . . . . . . 7 NzRing LIndF LIndF
29 simprlr 762 . . . . . . 7 NzRing LIndF
30 lindff1.l . . . . . . . 8 Scalar
3112, 30lindfind2 18722 . . . . . . 7 NzRing LIndF
326, 27, 28, 29, 31syl211anc 1234 . . . . . 6 NzRing LIndF
33 nelne2 2797 . . . . . 6
3426, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5 NzRing LIndF
3534expr 615 . . . 4 NzRing LIndF
3635necon4d 2694 . . 3 NzRing LIndF
3736ralrimivva 2888 . 2 NzRing LIndF
38 dff13 6165 . 2
395, 37, 38sylanbrc 664 1 NzRing LIndF
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817   cdif 3478   wss 3481  csn 4033   class class class wbr 4453   cdm 5005   crn 5006  cima 5008   wfun 5588  wf 5590  wf1 5591  cfv 5594  cbs 14507  Scalarcsca 14575  clmod 17383  clspn 17488  NzRingcnzr 17775   LIndF clindf 18708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-nzr 17776  df-lindf 18710 This theorem is referenced by:  islindf3  18730
 Copyright terms: Public domain W3C validator