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Theorem lindff1 18254
Description: A linearly independent family over a nonzero ring has no repeated elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lindff1.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
lindff1.l  |-  L  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lindff1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F -1-1-> B )

Proof of Theorem lindff1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  F LIndF  W )
2 simp1 988 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  W  e.  LMod )
3 lindff1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
43lindff 18249 . . 3  |-  ( ( F LIndF  W  /\  W  e.  LMod )  ->  F : dom  F --> B )
51, 2, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F --> B )
6 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  W  e.  LMod )
7 imassrn 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ran  F
8 frn 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : dom  F --> B  ->  ran  F  C_  B )
95, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  ran  F  C_  B
)
107, 9syl5ss 3372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  B )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  B )
12 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
133, 12lspssid 17071 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  B )  ->  ( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
146, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( F " ( dom  F  \  { y } ) )  C_  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
15 ffun 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : dom  F --> B  ->  Fun  F )
165, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  Fun  F )
1716adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  Fun  F )
18 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  x  e.  dom  F )
1917, 18jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( Fun  F  /\  x  e.  dom  F ) )
20 eldifsn 4005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( dom  F  \  { y } )  <-> 
( x  e.  dom  F  /\  x  =/=  y
) )
2120biimpri 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  F  /\  x  =/=  y
)  ->  x  e.  ( dom  F  \  {
y } ) )
2221adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( dom  F  \  { y } ) )
2322adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  x  e.  ( dom  F 
\  { y } ) )
24 funfvima 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( x  e.  ( dom  F  \  {
y } )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
2519, 23, 24sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" ( dom  F  \  { y } ) ) )
2614, 25sseldd 3362 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
27 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  L  e. NzRing )
28 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  F LIndF  W )
29 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
y  e.  dom  F
)
30 lindff1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (Scalar `  W )
3112, 30lindfind2 18252 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing )  /\  F LIndF  W  /\  y  e.  dom  F )  ->  -.  ( F `  y )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )
326, 27, 28, 29, 31syl211anc 1224 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  ->  -.  ( F `  y
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) ) )
33 nelne2 2707 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( dom 
F  \  { y } ) ) )  /\  -.  ( F `
 y )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( dom  F  \  { y } ) ) ) )  -> 
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) )
3426, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( (
x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F )  /\  x  =/=  y ) )  -> 
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) )
3534expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y )
) )
3635necon4d 2679 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W
)  /\  ( x  e.  dom  F  /\  y  e.  dom  F ) )  ->  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  ->  x  =  y ) )
3736ralrimivva 2813 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
38 dff13 5976 . 2  |-  ( F : dom  F -1-1-> B  <->  ( F : dom  F --> B  /\  A. x  e. 
dom  F A. y  e.  dom  F ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
395, 37, 38sylanbrc 664 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  L  e. NzRing  /\  F LIndF  W )  ->  F : dom  F -1-1-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   ` cfv 5423   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   LModclmod 16953   LSpanclspn 17057  NzRingcnzr 17344   LIndF clindf 18238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-nzr 17345  df-lindf 18240
This theorem is referenced by:  islindf3  18260
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