Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalsc0 Structured version   Unicode version

Theorem lincvalsc0 32892
 Description: The linear combination where all scalars are 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsc0.b
lincvalsc0.s Scalar
lincvalsc0.0
lincvalsc0.z
lincvalsc0.f
Assertion
Ref Expression
lincvalsc0 linC
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem lincvalsc0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3
2 lincvalsc0.s . . . . . . . 8 Scalar
32eqcomi 2456 . . . . . . . . 9 Scalar
43fveq2i 5859 . . . . . . . 8 Scalar
5 lincvalsc0.0 . . . . . . . 8
62, 4, 5lmod0cl 17517 . . . . . . 7 Scalar
76adantr 465 . . . . . 6 Scalar
87adantr 465 . . . . 5 Scalar
9 lincvalsc0.f . . . . 5
108, 9fmptd 6040 . . . 4 Scalar
11 fvex 5866 . . . . . 6 Scalar
1211a1i 11 . . . . 5 Scalar
13 elmapg 7435 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
1412, 13sylan 471 . . . 4 Scalar Scalar
1510, 14mpbird 232 . . 3 Scalar
16 lincvalsc0.b . . . . . . 7
1716pweqi 4001 . . . . . 6
1817eleq2i 2521 . . . . 5
1918biimpi 194 . . . 4
21 lincval 32880 . . 3 Scalar linC g
221, 15, 20, 21syl3anc 1229 . 2 linC g
23 simpr 461 . . . . . . 7
24 fvex 5866 . . . . . . . 8
255, 24eqeltri 2527 . . . . . . 7
26 eqidd 2444 . . . . . . . 8
2726, 9fvmptg 5939 . . . . . . 7
2823, 25, 27sylancl 662 . . . . . 6
2928oveq1d 6296 . . . . 5
301adantr 465 . . . . . 6
31 elelpwi 4008 . . . . . . . . 9
3231expcom 435 . . . . . . . 8
3332adantl 466 . . . . . . 7
3433imp 429 . . . . . 6
35 eqid 2443 . . . . . . 7
36 lincvalsc0.z . . . . . . 7
3716, 2, 35, 5, 36lmod0vs 17524 . . . . . 6
3830, 34, 37syl2anc 661 . . . . 5
3929, 38eqtrd 2484 . . . 4
4039mpteq2dva 4523 . . 3
4140oveq2d 6297 . 2 g g
42 lmodgrp 17498 . . . 4
43 grpmnd 16041 . . . 4
4442, 43syl 16 . . 3
4536gsumz 15984 . . 3 g
4644, 45sylan 471 . 2 g
4722, 41, 463eqtrd 2488 1 linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095  cpw 3997   cmpt 4495  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmap 7422  cbs 14614  Scalarcsca 14682  cvsca 14683  c0g 14819   g cgsu 14820  cmnd 15898  cgrp 16032  clmod 17491   linC clinc 32875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-map 7424  df-seq 12090  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-ring 17179  df-lmod 17493  df-linc 32877 This theorem is referenced by:  lcoc0  32893
 Copyright terms: Public domain W3C validator