Theorem lincvalpr 31045

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )
lincvalpr.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincvalpr.f	|- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	|- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 5778	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2478	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2526	. . . . . . 7 |- ( X e. R <-> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( X e. R -> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	anim2i 569	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1010	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	6	eleq2i 2526	. . . . . . 7 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
12	11	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
13	12	anim2i 569	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1011	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
15		fvex 5785	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
17	16	anim2i 569	. . . . . 6 |- ( ( V =/= W /\ M e. LMod ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
18	17	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
19	18	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
20		lincvalpr.f	. . . . 5 |- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }
21	20	mapprop 30860	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
22	10, 14, 19, 21	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
23		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
24	23	eleq2i 2526	. . . . . . 7 |- ( V e. B <-> V e. ( Base ` M ) )
25	24	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( V e. B -> V e. ( Base ` M ) )
26	25	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. ( Base ` M ) )
27	23	eleq2i 2526	. . . . . . 7 |- ( W e. B <-> W e. ( Base ` M ) )
28	27	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( W e. B -> W e. ( Base ` M ) )
29	28	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. ( Base ` M ) )
30		prelpwi 4623	. . . . 5 |- ( ( V e. ( Base ` M ) /\ W e. ( Base ` M ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
31	26, 29, 30	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
32	31	3adant1 1006	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
33		lincval 31036	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) /\ { V , W } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
34	2, 22, 32, 33	syl3anc 1219	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
35		lmodcmn 17085	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
36	35	adantr 465	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. CMnd )
37	36	3ad2ant1 1009	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. CMnd )
38		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> V =/= W )
39		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. B )
40		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. B )
41	38, 39, 40	3anim123i 1173	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) )
42		3anrot 970	. . . 4 |- ( ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) <-> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
43	41, 42	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
44	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
45	44	fveq1d 5777	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) )
46		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V e. B )
47		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> X e. R )
48	38	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V =/= W )
49		fvpr1g 6008	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. B /\ X e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
51	45, 50	eqtrd 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
52	51	oveq1d 6191	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X ( .s ` M ) V ) )
53	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> M e. LMod )
54		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
55	23, 4, 54, 3	lmodvscl 17057	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. R /\ V e. B ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
56	53, 47, 46, 55	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
57	52, 56	eqeltrd 2536	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
58	57	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
59	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
60	59	fveq1d 5777	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) )
61		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
62		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
63	38	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
64		fvpr2g 6009	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. B /\ Y e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
66	60, 65	eqtrd 2490	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
67	66	oveq1d 6191	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y ( .s ` M ) W ) )
68	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
69	23, 4, 54, 3	lmodvscl 17057	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ W e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
70	68, 62, 61, 69	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
71	67, 70	eqeltrd 2536	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
72	71	3adant2 1007	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
73		lincvalpr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
74		fveq2 5775	. . . . 5 |- ( v = V -> ( F ` v ) = ( F ` V ) )
75		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
76	74, 75	oveq12d 6194	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) )
77		fveq2 5775	. . . . 5 |- ( v = W -> ( F ` v ) = ( F ` W ) )
78		id 22	. . . . 5 |- ( v = W -> v = W )
79	77, 78	oveq12d 6194	. . . 4 |- ( v = W -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) )
80	23, 73, 76, 79	gsumpr 30882	. . 3 |- ( ( M e. CMnd /\ ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) /\ ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B /\ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
81	37, 43, 58, 72, 80	syl112anc 1223	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
82		lincvalsn.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` M )
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> .x. = ( .s ` M ) )
84	83	eqcomd 2457	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( .s ` M ) = .x. )
85	20	fveq1i 5776	. . . . 5 |- ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V )
86	39	3ad2ant2 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V e. B )
87		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> X e. R )
88	87	3ad2ant2 1010	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
89	38	3ad2ant1 1009	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
90	86, 88, 89, 49	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
91	85, 90	syl5eq 2502	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
92		eqidd 2451	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V = V )
93	84, 91, 92	oveq123d 6197	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X .x. V ) )
94	20	fveq1i 5776	. . . . 5 |- ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W )
95	40	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
96		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> Y e. R )
97	96	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
98	95, 97, 89, 64	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
99	94, 98	syl5eq 2502	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
100		eqidd 2451	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W = W )
101	84, 99, 100	oveq123d 6197	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y .x. W ) )
102	93, 101	oveq12d 6194	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )
103	34, 81, 102	3eqtrd 2494	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1757   =/= wne 2641   _Vcvv 3054   ~Pcpw 3944   {cpr 3963   <.cop 3967   |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   ^m cmap 7300   Basecbs 14262   +g cplusg 14326  Scalarcsca 14329   .scvsca 14330   gsum_g cgsu 14467  CMndccmn 16367   LModclmod 17040   linC clinc 31031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-lmod 17042  df-linc 31033

This theorem is referenced by:  ldepspr  31100