Theorem lincvalpr 39555

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )
lincvalpr.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincvalpr.f	|- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	|- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1027	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 5882	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2452	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2501	. . . . . . 7 |- ( X e. R <-> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( X e. R -> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	anim2i 572	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1028	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	6	eleq2i 2501	. . . . . . 7 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
12	11	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
13	12	anim2i 572	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1029	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
15		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
17	16	anim2i 572	. . . . . 6 |- ( ( V =/= W /\ M e. LMod ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
18	17	ancoms 455	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
19	18	3ad2ant1 1027	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
20		lincvalpr.f	. . . . 5 |- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }
21	20	mapprop 39471	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
22	10, 14, 19, 21	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
23		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
24	23	eleq2i 2501	. . . . . . 7 |- ( V e. B <-> V e. ( Base ` M ) )
25	24	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( V e. B -> V e. ( Base ` M ) )
26	25	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. ( Base ` M ) )
27	23	eleq2i 2501	. . . . . . 7 |- ( W e. B <-> W e. ( Base ` M ) )
28	27	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( W e. B -> W e. ( Base ` M ) )
29	28	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. ( Base ` M ) )
30		prelpwi 4666	. . . . 5 |- ( ( V e. ( Base ` M ) /\ W e. ( Base ` M ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
31	26, 29, 30	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
32	31	3adant1 1024	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
33		lincval 39546	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) /\ { V , W } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
34	2, 22, 32, 33	syl3anc 1265	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
35		lmodcmn 18129	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
36	35	adantr 467	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. CMnd )
37	36	3ad2ant1 1027	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. CMnd )
38		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> V =/= W )
39		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. B )
40		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. B )
41	38, 39, 40	3anim123i 1191	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) )
42		3anrot 988	. . . 4 |- ( ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) <-> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
43	41, 42	sylib 200	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
44	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
45	44	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) )
46		simprl 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V e. B )
47		simprr 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> X e. R )
48	38	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V =/= W )
49		fvpr1g 6122	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. B /\ X e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
51	45, 50	eqtrd 2464	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
52	51	oveq1d 6318	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X ( .s ` M ) V ) )
53	1	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> M e. LMod )
54		eqid 2423	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
55	23, 4, 54, 3	lmodvscl 18101	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. R /\ V e. B ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
56	53, 47, 46, 55	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
57	52, 56	eqeltrd 2511	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
58	57	3adant3 1026	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
59	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
60	59	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) )
61		simprl 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
62		simprr 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
63	38	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
64		fvpr2g 6123	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. B /\ Y e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
66	60, 65	eqtrd 2464	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
67	66	oveq1d 6318	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y ( .s ` M ) W ) )
68	1	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
69	23, 4, 54, 3	lmodvscl 18101	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ W e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
70	68, 62, 61, 69	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
71	67, 70	eqeltrd 2511	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
72	71	3adant2 1025	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
73		lincvalpr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
74		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( v = V -> ( F ` v ) = ( F ` V ) )
75		id 23	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
76	74, 75	oveq12d 6321	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) )
77		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( v = W -> ( F ` v ) = ( F ` W ) )
78		id 23	. . . . 5 |- ( v = W -> v = W )
79	77, 78	oveq12d 6321	. . . 4 |- ( v = W -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) )
80	23, 73, 76, 79	gsumpr 39486	. . 3 |- ( ( M e. CMnd /\ ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) /\ ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B /\ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
81	37, 43, 58, 72, 80	syl112anc 1269	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
82		lincvalsn.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` M )
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> .x. = ( .s ` M ) )
84	83	eqcomd 2431	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( .s ` M ) = .x. )
85	20	fveq1i 5880	. . . . 5 |- ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V )
86	39	3ad2ant2 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V e. B )
87		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> X e. R )
88	87	3ad2ant2 1028	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
89	38	3ad2ant1 1027	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
90	86, 88, 89, 49	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
91	85, 90	syl5eq 2476	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
92		eqidd 2424	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V = V )
93	84, 91, 92	oveq123d 6324	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X .x. V ) )
94	20	fveq1i 5880	. . . . 5 |- ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W )
95	40	3ad2ant3 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
96		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> Y e. R )
97	96	3ad2ant3 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
98	95, 97, 89, 64	syl3anc 1265	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
99	94, 98	syl5eq 2476	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
100		eqidd 2424	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W = W )
101	84, 99, 100	oveq123d 6324	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y .x. W ) )
102	93, 101	oveq12d 6321	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )
103	34, 81, 102	3eqtrd 2468	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   _Vcvv 3082   ~Pcpw 3980   {cpr 3999   <.cop 4003   |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ^m cmap 7478   Basecbs 15114   +g cplusg 15183  Scalarcsca 15186   .scvsca 15187   gsum_g cgsu 15332  CMndccmn 17423   LModclmod 18084   linC clinc 39541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-lmod 18086  df-linc 39543

This theorem is referenced by:  ldepspr  39610