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Theorem lincvalpr 40264
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincvalsn.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincvalsn.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincvalsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincvalpr.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincvalpr.f  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
Assertion
Ref Expression
lincvalpr  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e.  LMod )
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  M )
54fveq2i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
63, 5eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
76eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  R  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
87biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( X  e.  R  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
98anim2i 573 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
1093ad2ant2 1030 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
116eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  R  <->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
1211biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  R  ->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
1312anim2i 573 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
14133ad2ant3 1031 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
15 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
1716anim2i 573 . . . . . 6  |-  ( ( V  =/=  W  /\  M  e.  LMod )  -> 
( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )
1817ancoms 455 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M
) )  e.  _V ) )
19183ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
)
20 lincvalpr.f . . . . 5  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
2120mapprop 40180 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { V ,  W }
) )
2210, 14, 19, 21syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
) )
23 lincvalsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  B  <->  V  e.  ( Base `  M )
)
2524biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( V  e.  B  ->  V  e.  ( Base `  M
) )
2625adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  ( Base `  M ) )
2723eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  B  <->  W  e.  ( Base `  M )
)
2827biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( W  e.  B  ->  W  e.  ( Base `  M
) )
2928adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  ( Base `  M ) )
30 prelpwi 4647 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  ( Base `  M )  /\  W  e.  ( Base `  M
) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
3126, 29, 30syl2an 480 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R
)  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M
) )
32313adant1 1026 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
33 lincval 40255 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
)  /\  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
342, 22, 32, 33syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
35 lmodcmn 18136 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
3635adantr 467 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e. CMnd )
37363ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e. CMnd )
38 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  V  =/=  W )
39 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  B )
40 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  B )
4138, 39, 403anim123i 1193 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B ) )
42 3anrot 990 . . . 4  |-  ( ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B )  <->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W ) )
4341, 42sylib 200 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/= 
W ) )
4420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
4544fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V ) )
46 simprl 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  e.  B )
47 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  X  e.  R )
4838adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
49 fvpr1g 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5145, 50eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  X )
5251oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  =  ( X ( .s `  M
) V ) )
531adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
54 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5523, 4, 54, 3lmodvscl 18108 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  R  /\  V  e.  B )  ->  ( X ( .s `  M ) V )  e.  B )
5653, 47, 46, 55syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( X ( .s
`  M ) V )  e.  B )
5752, 56eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  e.  B )
58573adant3 1028 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  e.  B )
5920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
6059fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W ) )
61 simprl 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  W  e.  B )
62 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  Y  e.  R )
6338adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
64 fvpr2g 6110 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6660, 65eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  Y )
6766oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  =  ( Y ( .s `  M
) W ) )
681adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
6923, 4, 54, 3lmodvscl 18108 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  R  /\  W  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) W )  e.  B )
7068, 62, 61, 69syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( Y ( .s
`  M ) W )  e.  B )
7167, 70eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B )
72713adant2 1027 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  e.  B )
73 lincvalpr.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
74 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( F `  v )  =  ( F `  V ) )
75 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  v  =  V )
7674, 75oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V ) )
77 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  ( F `  v )  =  ( F `  W ) )
78 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  v  =  W )
7977, 78oveq12d 6308 . . . 4  |-  ( v  =  W  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )
8023, 73, 76, 79gsumpr 40195 . . 3  |-  ( ( M  e. CMnd  /\  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W )  /\  ( ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V )  e.  B  /\  ( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
8137, 43, 58, 72, 80syl112anc 1272 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
82 lincvalsn.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  M )
8382a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  .x.  =  ( .s `  M ) )
8483eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( .s `  M )  =  .x.  )
8520fveq1i 5866 . . . . 5  |-  ( F `
 V )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)
86393ad2ant2 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  e.  B )
87 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  X  e.  R )
88873ad2ant2 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  X  e.  R )
89383ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =/=  W )
9086, 88, 89, 49syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V )  =  X )
9185, 90syl5eq 2497 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  V )  =  X )
92 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =  V )
9384, 91, 92oveq123d 6311 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  =  ( X  .x.  V
) )
9420fveq1i 5866 . . . . 5  |-  ( F `
 W )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)
95403ad2ant3 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  e.  B )
96 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  Y  e.  R )
97963ad2ant3 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  Y  e.  R )
9895, 97, 89, 64syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W )  =  Y )
9994, 98syl5eq 2497 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  W )  =  Y )
100 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  =  W )
10184, 99, 100oveq123d 6311 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  =  ( Y  .x.  W
) )
10293, 101oveq12d 6308 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )  =  ( ( X  .x.  V )  .+  ( Y  .x.  W ) ) )
10334, 81, 1023eqtrd 2489 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   <.cop 3974    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194    gsumg cgsu 15339  CMndccmn 17430   LModclmod 18091   linC clinc 40250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252
This theorem is referenced by:  ldepspr  40319
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