Theorem lincvalpr 40264

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )
lincvalpr.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincvalpr.f	|- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	|- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 5868	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2473	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( X e. R <-> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( X e. R -> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	anim2i 573	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1030	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	6	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
12	11	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
13	12	anim2i 573	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1031	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
15		fvex 5875	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
17	16	anim2i 573	. . . . . 6 |- ( ( V =/= W /\ M e. LMod ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
18	17	ancoms 455	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
19	18	3ad2ant1 1029	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
20		lincvalpr.f	. . . . 5 |- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }
21	20	mapprop 40180	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
22	10, 14, 19, 21	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
23		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
24	23	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( V e. B <-> V e. ( Base ` M ) )
25	24	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( V e. B -> V e. ( Base ` M ) )
26	25	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. ( Base ` M ) )
27	23	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( W e. B <-> W e. ( Base ` M ) )
28	27	biimpi 198	. . . . . 6 |- ( W e. B -> W e. ( Base ` M ) )
29	28	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. ( Base ` M ) )
30		prelpwi 4647	. . . . 5 |- ( ( V e. ( Base ` M ) /\ W e. ( Base ` M ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
31	26, 29, 30	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
32	31	3adant1 1026	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
33		lincval 40255	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) /\ { V , W } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
34	2, 22, 32, 33	syl3anc 1268	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
35		lmodcmn 18136	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
36	35	adantr 467	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. CMnd )
37	36	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. CMnd )
38		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> V =/= W )
39		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. B )
40		simpl 459	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. B )
41	38, 39, 40	3anim123i 1193	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) )
42		3anrot 990	. . . 4 |- ( ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) <-> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
43	41, 42	sylib 200	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
44	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
45	44	fveq1d 5867	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) )
46		simprl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V e. B )
47		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> X e. R )
48	38	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V =/= W )
49		fvpr1g 6109	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. B /\ X e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
51	45, 50	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
52	51	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X ( .s ` M ) V ) )
53	1	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> M e. LMod )
54		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
55	23, 4, 54, 3	lmodvscl 18108	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. R /\ V e. B ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
56	53, 47, 46, 55	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
57	52, 56	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
58	57	3adant3 1028	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
59	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
60	59	fveq1d 5867	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) )
61		simprl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
62		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
63	38	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
64		fvpr2g 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. B /\ Y e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
66	60, 65	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
67	66	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y ( .s ` M ) W ) )
68	1	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
69	23, 4, 54, 3	lmodvscl 18108	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ W e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
70	68, 62, 61, 69	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
71	67, 70	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
72	71	3adant2 1027	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
73		lincvalpr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
74		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( v = V -> ( F ` v ) = ( F ` V ) )
75		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
76	74, 75	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) )
77		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( v = W -> ( F ` v ) = ( F ` W ) )
78		id 22	. . . . 5 |- ( v = W -> v = W )
79	77, 78	oveq12d 6308	. . . 4 |- ( v = W -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) )
80	23, 73, 76, 79	gsumpr 40195	. . 3 |- ( ( M e. CMnd /\ ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) /\ ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B /\ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
81	37, 43, 58, 72, 80	syl112anc 1272	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
82		lincvalsn.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` M )
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> .x. = ( .s ` M ) )
84	83	eqcomd 2457	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( .s ` M ) = .x. )
85	20	fveq1i 5866	. . . . 5 |- ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V )
86	39	3ad2ant2 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V e. B )
87		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> X e. R )
88	87	3ad2ant2 1030	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
89	38	3ad2ant1 1029	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
90	86, 88, 89, 49	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
91	85, 90	syl5eq 2497	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
92		eqidd 2452	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V = V )
93	84, 91, 92	oveq123d 6311	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X .x. V ) )
94	20	fveq1i 5866	. . . . 5 |- ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W )
95	40	3ad2ant3 1031	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
96		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> Y e. R )
97	96	3ad2ant3 1031	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
98	95, 97, 89, 64	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
99	94, 98	syl5eq 2497	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
100		eqidd 2452	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W = W )
101	84, 99, 100	oveq123d 6311	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y .x. W ) )
102	93, 101	oveq12d 6308	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )
103	34, 81, 102	3eqtrd 2489	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   ~Pcpw 3951   {cpr 3970   <.cop 3974   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   gsum_g cgsu 15339  CMndccmn 17430   LModclmod 18091   linC clinc 40250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252

This theorem is referenced by:  ldepspr  40319