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Theorem lincvalpr 31045
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincvalsn.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincvalsn.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincvalsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincvalpr.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincvalpr.f  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
Assertion
Ref Expression
lincvalpr  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e.  LMod )
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  M )
54fveq2i 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
63, 5eqtri 2478 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
76eleq2i 2526 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  R  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( X  e.  R  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
98anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
1093ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
116eleq2i 2526 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  R  <->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  R  ->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
1312anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
14133ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
15 fvex 5785 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
1716anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( V  =/=  W  /\  M  e.  LMod )  -> 
( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )
1817ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M
) )  e.  _V ) )
19183ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
)
20 lincvalpr.f . . . . 5  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
2120mapprop 30860 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { V ,  W }
) )
2210, 14, 19, 21syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
) )
23 lincvalsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423eleq2i 2526 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  B  <->  V  e.  ( Base `  M )
)
2524biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( V  e.  B  ->  V  e.  ( Base `  M
) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  ( Base `  M ) )
2723eleq2i 2526 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  B  <->  W  e.  ( Base `  M )
)
2827biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( W  e.  B  ->  W  e.  ( Base `  M
) )
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  ( Base `  M ) )
30 prelpwi 4623 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  ( Base `  M )  /\  W  e.  ( Base `  M
) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
3126, 29, 30syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R
)  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M
) )
32313adant1 1006 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
33 lincval 31036 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
)  /\  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
342, 22, 32, 33syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
35 lmodcmn 17085 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
3635adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e. CMnd )
37363ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e. CMnd )
38 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  V  =/=  W )
39 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  B )
40 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  B )
4138, 39, 403anim123i 1173 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B ) )
42 3anrot 970 . . . 4  |-  ( ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B )  <->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W ) )
4341, 42sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/= 
W ) )
4420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
4544fveq1d 5777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V ) )
46 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  e.  B )
47 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  X  e.  R )
4838adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
49 fvpr1g 6008 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5145, 50eqtrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  X )
5251oveq1d 6191 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  =  ( X ( .s `  M
) V ) )
531adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
54 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5523, 4, 54, 3lmodvscl 17057 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  R  /\  V  e.  B )  ->  ( X ( .s `  M ) V )  e.  B )
5653, 47, 46, 55syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( X ( .s
`  M ) V )  e.  B )
5752, 56eqeltrd 2536 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  e.  B )
58573adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  e.  B )
5920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
6059fveq1d 5777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W ) )
61 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  W  e.  B )
62 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  Y  e.  R )
6338adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
64 fvpr2g 6009 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6660, 65eqtrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  Y )
6766oveq1d 6191 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  =  ( Y ( .s `  M
) W ) )
681adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
6923, 4, 54, 3lmodvscl 17057 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  R  /\  W  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) W )  e.  B )
7068, 62, 61, 69syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( Y ( .s
`  M ) W )  e.  B )
7167, 70eqeltrd 2536 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B )
72713adant2 1007 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  e.  B )
73 lincvalpr.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
74 fveq2 5775 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( F `  v )  =  ( F `  V ) )
75 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  v  =  V )
7674, 75oveq12d 6194 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V ) )
77 fveq2 5775 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  ( F `  v )  =  ( F `  W ) )
78 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  v  =  W )
7977, 78oveq12d 6194 . . . 4  |-  ( v  =  W  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )
8023, 73, 76, 79gsumpr 30882 . . 3  |-  ( ( M  e. CMnd  /\  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W )  /\  ( ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V )  e.  B  /\  ( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
8137, 43, 58, 72, 80syl112anc 1223 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
82 lincvalsn.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  M )
8382a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  .x.  =  ( .s `  M ) )
8483eqcomd 2457 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( .s `  M )  =  .x.  )
8520fveq1i 5776 . . . . 5  |-  ( F `
 V )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)
86393ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  e.  B )
87 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  X  e.  R )
88873ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  X  e.  R )
89383ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =/=  W )
9086, 88, 89, 49syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V )  =  X )
9185, 90syl5eq 2502 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  V )  =  X )
92 eqidd 2451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =  V )
9384, 91, 92oveq123d 6197 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  =  ( X  .x.  V
) )
9420fveq1i 5776 . . . . 5  |-  ( F `
 W )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)
95403ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  e.  B )
96 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  Y  e.  R )
97963ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  Y  e.  R )
9895, 97, 89, 64syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W )  =  Y )
9994, 98syl5eq 2502 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  W )  =  Y )
100 eqidd 2451 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  =  W )
10184, 99, 100oveq123d 6197 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  =  ( Y  .x.  W
) )
10293, 101oveq12d 6194 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )  =  ( ( X  .x.  V )  .+  ( Y  .x.  W ) ) )
10334, 81, 1023eqtrd 2494 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   _Vcvv 3054   ~Pcpw 3944   {cpr 3963   <.cop 3967    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ^m cmap 7300   Basecbs 14262   +g cplusg 14326  Scalarcsca 14329   .scvsca 14330    gsumg cgsu 14467  CMndccmn 16367   LModclmod 17040   linC clinc 31031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-supp 6777  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fsupp 7708  df-oi 7811  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-hash 12191  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-ress 14269  df-plusg 14339  df-0g 14468  df-gsum 14469  df-mre 14612  df-mrc 14613  df-acs 14615  df-mnd 15503  df-submnd 15553  df-grp 15633  df-minusg 15634  df-mulg 15636  df-cntz 15923  df-cmn 16369  df-abl 16370  df-mgp 16683  df-ur 16695  df-rng 16739  df-lmod 17042  df-linc 31033
This theorem is referenced by:  ldepspr  31100
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