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Mathbox for Alexander van der Vekens |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > lincvalpr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) |
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lincvalsn.b |
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lincvalsn.s |
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lincvalsn.r |
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lincvalsn.t |
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lincvalpr.p |
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lincvalpr.f |
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lincvalpr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpl 459 |
. . . 4
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2 | 1 | 3ad2ant1 1029 |
. . 3
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3 | lincvalsn.r |
. . . . . . . . 9
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4 | lincvalsn.s |
. . . . . . . . . 10
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5 | 4 | fveq2i 5868 |
. . . . . . . . 9
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6 | 3, 5 | eqtri 2473 |
. . . . . . . 8
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7 | 6 | eleq2i 2521 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | biimpi 198 |
. . . . . 6
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9 | 8 | anim2i 573 |
. . . . 5
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10 | 9 | 3ad2ant2 1030 |
. . . 4
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11 | 6 | eleq2i 2521 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | biimpi 198 |
. . . . . 6
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13 | 12 | anim2i 573 |
. . . . 5
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14 | 13 | 3ad2ant3 1031 |
. . . 4
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15 | fvex 5875 |
. . . . . . . 8
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16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | anim2i 573 |
. . . . . 6
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18 | 17 | ancoms 455 |
. . . . 5
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19 | 18 | 3ad2ant1 1029 |
. . . 4
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20 | lincvalpr.f |
. . . . 5
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21 | 20 | mapprop 40180 |
. . . 4
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22 | 10, 14, 19, 21 | syl3anc 1268 |
. . 3
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23 | lincvalsn.b |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | eleq2i 2521 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | biimpi 198 |
. . . . . 6
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26 | 25 | adantr 467 |
. . . . 5
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27 | 23 | eleq2i 2521 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | biimpi 198 |
. . . . . 6
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29 | 28 | adantr 467 |
. . . . 5
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30 | prelpwi 4647 |
. . . . 5
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31 | 26, 29, 30 | syl2an 480 |
. . . 4
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32 | 31 | 3adant1 1026 |
. . 3
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33 | lincval 40255 |
. . 3
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34 | 2, 22, 32, 33 | syl3anc 1268 |
. 2
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35 | lmodcmn 18136 |
. . . . 5
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36 | 35 | adantr 467 |
. . . 4
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37 | 36 | 3ad2ant1 1029 |
. . 3
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38 | simpr 463 |
. . . . 5
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39 | simpl 459 |
. . . . 5
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40 | simpl 459 |
. . . . 5
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41 | 38, 39, 40 | 3anim123i 1193 |
. . . 4
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42 | 3anrot 990 |
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43 | 41, 42 | sylib 200 |
. . 3
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44 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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45 | 44 | fveq1d 5867 |
. . . . . . 7
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46 | simprl 764 |
. . . . . . . 8
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47 | simprr 766 |
. . . . . . . 8
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48 | 38 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
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49 | fvpr1g 6109 |
. . . . . . . 8
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50 | 46, 47, 48, 49 | syl3anc 1268 |
. . . . . . 7
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51 | 45, 50 | eqtrd 2485 |
. . . . . 6
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52 | 51 | oveq1d 6305 |
. . . . 5
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53 | 1 | adantr 467 |
. . . . . 6
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54 | eqid 2451 |
. . . . . . 7
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55 | 23, 4, 54, 3 | lmodvscl 18108 |
. . . . . 6
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56 | 53, 47, 46, 55 | syl3anc 1268 |
. . . . 5
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57 | 52, 56 | eqeltrd 2529 |
. . . 4
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58 | 57 | 3adant3 1028 |
. . 3
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59 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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60 | 59 | fveq1d 5867 |
. . . . . . 7
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61 | simprl 764 |
. . . . . . . 8
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62 | simprr 766 |
. . . . . . . 8
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63 | 38 | adantr 467 |
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65 | 61, 62, 63, 64 | syl3anc 1268 |
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66 | 60, 65 | eqtrd 2485 |
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69 | 23, 4, 54, 3 | lmodvscl 18108 |
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70 | 68, 62, 61, 69 | syl3anc 1268 |
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71 | 67, 70 | eqeltrd 2529 |
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72 | 71 | 3adant2 1027 |
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73 | lincvalpr.p |
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74 | fveq2 5865 |
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76 | 74, 75 | oveq12d 6308 |
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78 | id 22 |
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79 | 77, 78 | oveq12d 6308 |
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80 | 23, 73, 76, 79 | gsumpr 40195 |
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81 | 37, 43, 58, 72, 80 | syl112anc 1272 |
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82 | lincvalsn.t |
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83 | 82 | a1i 11 |
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84 | 83 | eqcomd 2457 |
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86 | 39 | 3ad2ant2 1030 |
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89 | 38 | 3ad2ant1 1029 |
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91 | 85, 90 | syl5eq 2497 |
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92 | eqidd 2452 |
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93 | 84, 91, 92 | oveq123d 6311 |
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94 | 20 | fveq1i 5866 |
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96 | simpr 463 |
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97 | 96 | 3ad2ant3 1031 |
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98 | 95, 97, 89, 64 | syl3anc 1268 |
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99 | 94, 98 | syl5eq 2497 |
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100 | eqidd 2452 |
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101 | 84, 99, 100 | oveq123d 6311 |
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102 | 93, 101 | oveq12d 6308 |
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103 | 34, 81, 102 | 3eqtrd 2489 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-iin 4281 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-fsupp 7884 df-oi 8025 df-card 8373 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-nn 10610 df-2 10668 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-seq 12214 df-hash 12516 df-ndx 15124 df-slot 15125 df-base 15126 df-sets 15127 df-ress 15128 df-plusg 15203 df-0g 15340 df-gsum 15341 df-mre 15492 df-mrc 15493 df-acs 15495 df-mgm 16488 df-sgrp 16527 df-mnd 16537 df-submnd 16583 df-grp 16673 df-minusg 16674 df-mulg 16676 df-cntz 16971 df-cmn 17432 df-abl 17433 df-mgp 17724 df-ur 17736 df-ring 17782 df-lmod 18093 df-linc 40252 |
This theorem is referenced by: ldepspr 40319 |
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