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Theorem lincvalpr 33258
Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincvalsn.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincvalsn.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincvalsn.t  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincvalpr.p  |-  .+  =  ( +g  `  M )
lincvalpr.f  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
Assertion
Ref Expression
lincvalpr  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e.  LMod )
213ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e.  LMod )
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( Base `  S
)
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  (Scalar `  M )
54fveq2i 5794 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  (Scalar `  M
) )
63, 5eqtri 2425 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
76eleq2i 2474 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  R  <->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
87biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( X  e.  R  ->  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
98anim2i 567 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
1093ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
116eleq2i 2474 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  R  <->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  R  ->  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) )
1312anim2i 567 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) ) )
14133ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M ) ) ) )
15 fvex 5801 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
1716anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( V  =/=  W  /\  M  e.  LMod )  -> 
( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )
1817ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M
) )  e.  _V ) )
19183ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M )
)  e.  _V )
)
20 lincvalpr.f . . . . 5  |-  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. }
2120mapprop 33174 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  ( Base `  (Scalar `  M
) ) )  /\  ( V  =/=  W  /\  ( Base `  (Scalar `  M ) )  e. 
_V ) )  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M
) )  ^m  { V ,  W }
) )
2210, 14, 19, 21syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
) )
23 lincvalsn.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  M
)
2423eleq2i 2474 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  B  <->  V  e.  ( Base `  M )
)
2524biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( V  e.  B  ->  V  e.  ( Base `  M
) )
2625adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  ( Base `  M ) )
2723eleq2i 2474 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  B  <->  W  e.  ( Base `  M )
)
2827biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( W  e.  B  ->  W  e.  ( Base `  M
) )
2928adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  ( Base `  M ) )
30 prelpwi 4626 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  ( Base `  M )  /\  W  e.  ( Base `  M
) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
3126, 29, 30syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R
)  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M
) )
32313adant1 1012 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)
33 lincval 33249 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  M ) )  ^m  { V ,  W }
)  /\  { V ,  W }  e.  ~P ( Base `  M )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
342, 22, 32, 33syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( M 
gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s
`  M ) v ) ) ) )
35 lmodcmn 17694 . . . . 5  |-  ( M  e.  LMod  ->  M  e. CMnd
)
3635adantr 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  M  e. CMnd )
37363ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  M  e. CMnd )
38 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  ->  V  =/=  W )
39 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  V  e.  B )
40 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  W  e.  B )
4138, 39, 403anim123i 1179 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B ) )
42 3anrot 976 . . . 4  |-  ( ( V  =/=  W  /\  V  e.  B  /\  W  e.  B )  <->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W ) )
4341, 42sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/= 
W ) )
4420a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
4544fveq1d 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V ) )
46 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  e.  B )
47 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  X  e.  R )
4838adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
49 fvpr1g 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5046, 47, 48, 49syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)  =  X )
5145, 50eqtrd 2437 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( F `  V
)  =  X )
5251oveq1d 6233 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  =  ( X ( .s `  M
) V ) )
531adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
54 eqid 2396 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
5523, 4, 54, 3lmodvscl 17665 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  X  e.  R  /\  V  e.  B )  ->  ( X ( .s `  M ) V )  e.  B )
5653, 47, 46, 55syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( X ( .s
`  M ) V )  e.  B )
5752, 56eqeltrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R ) )  -> 
( ( F `  V ) ( .s
`  M ) V )  e.  B )
58573adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  e.  B )
5920a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  F  =  { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } )
6059fveq1d 5793 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  ( {
<. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W ) )
61 simprl 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  W  e.  B )
62 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  Y  e.  R )
6338adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  V  =/=  W )
64 fvpr2g 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R  /\  V  =/=  W )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)  =  Y )
6660, 65eqtrd 2437 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( F `  W
)  =  Y )
6766oveq1d 6233 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  =  ( Y ( .s `  M
) W ) )
681adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  ->  M  e.  LMod )
6923, 4, 54, 3lmodvscl 17665 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  Y  e.  R  /\  W  e.  B )  ->  ( Y ( .s `  M ) W )  e.  B )
7068, 62, 61, 69syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( Y ( .s
`  M ) W )  e.  B )
7167, 70eqeltrd 2484 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R ) )  -> 
( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B )
72713adant2 1013 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  e.  B )
73 lincvalpr.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  M )
74 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  ( F `  v )  =  ( F `  V ) )
75 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  v  =  V )
7674, 75oveq12d 6236 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V ) )
77 fveq2 5791 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  ( F `  v )  =  ( F `  W ) )
78 id 22 . . . . 5  |-  ( v  =  W  ->  v  =  W )
7977, 78oveq12d 6236 . . . 4  |-  ( v  =  W  ->  (
( F `  v
) ( .s `  M ) v )  =  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )
8023, 73, 76, 79gsumpr 33189 . . 3  |-  ( ( M  e. CMnd  /\  ( V  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  =/=  W )  /\  ( ( ( F `
 V ) ( .s `  M ) V )  e.  B  /\  ( ( F `  W ) ( .s
`  M ) W )  e.  B ) )  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
8137, 43, 58, 72, 80syl112anc 1230 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( M  gsumg  ( v  e.  { V ,  W }  |->  ( ( F `  v ) ( .s `  M
) v ) ) )  =  ( ( ( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) ) )
82 lincvalsn.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  M )
8382a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  .x.  =  ( .s `  M ) )
8483eqcomd 2404 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( .s `  M )  =  .x.  )
8520fveq1i 5792 . . . . 5  |-  ( F `
 V )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  V
)
86393ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  e.  B )
87 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  ->  X  e.  R )
88873ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  X  e.  R )
89383ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =/=  W )
9086, 88, 89, 49syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 V )  =  X )
9185, 90syl5eq 2449 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  V )  =  X )
92 eqidd 2397 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  V  =  V )
9384, 91, 92oveq123d 6239 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  V )
( .s `  M
) V )  =  ( X  .x.  V
) )
9420fveq1i 5792 . . . . 5  |-  ( F `
 W )  =  ( { <. V ,  X >. ,  <. W ,  Y >. } `  W
)
95403ad2ant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  e.  B )
96 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )  ->  Y  e.  R )
97963ad2ant3 1017 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  Y  e.  R )
9895, 97, 89, 64syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( { <. V ,  X >. , 
<. W ,  Y >. } `
 W )  =  Y )
9994, 98syl5eq 2449 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F `  W )  =  Y )
100 eqidd 2397 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  W  =  W )
10184, 99, 100oveq123d 6239 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( ( F `  W )
( .s `  M
) W )  =  ( Y  .x.  W
) )
10293, 101oveq12d 6236 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
( F `  V
) ( .s `  M ) V ) 
.+  ( ( F `
 W ) ( .s `  M ) W ) )  =  ( ( X  .x.  V )  .+  ( Y  .x.  W ) ) )
10334, 81, 1023eqtrd 2441 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  =/=  W )  /\  ( V  e.  B  /\  X  e.  R )  /\  ( W  e.  B  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( F
( linC  `  M ) { V ,  W }
)  =  ( ( X  .x.  V ) 
.+  ( Y  .x.  W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591   _Vcvv 3051   ~Pcpw 3944   {cpr 3963   <.cop 3967    |-> cmpt 4442   ` cfv 5513  (class class class)co 6218    ^m cmap 7360   Basecbs 14657   +g cplusg 14725  Scalarcsca 14728   .scvsca 14729    gsumg cgsu 14871  CMndccmn 16938   LModclmod 17648   linC clinc 33244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-seq 12034  df-hash 12331  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-lmod 17650  df-linc 33246
This theorem is referenced by:  ldepspr  33313
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