Theorem lincvalpr 33258

Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincvalsn.b	|- B = ( Base ` M )
lincvalsn.s	|- S = (Scalar ` M )
lincvalsn.r	|- R = ( Base ` S )
lincvalsn.t	|- .x. = ( .s ` M )
lincvalpr.p	|- .+ = ( +g ` M )
lincvalpr.f	|- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }

Assertion

Ref	Expression
lincvalpr	|- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Proof of Theorem lincvalpr

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 455	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1015	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
3		lincvalsn.r	. . . . . . . . 9 |- R = ( Base ` S )
4		lincvalsn.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (Scalar ` M )
5	4	fveq2i 5794	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
6	3, 5	eqtri 2425	. . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
7	6	eleq2i 2474	. . . . . . 7 |- ( X e. R <-> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
8	7	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( X e. R -> X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
9	8	anim2i 567	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
10	9	3ad2ant2 1016	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
11	6	eleq2i 2474	. . . . . . 7 |- ( Y e. R <-> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
12	11	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( Y e. R -> Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) )
13	12	anim2i 567	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
14	13	3ad2ant3 1017	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) )
15		fvex 5801	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
17	16	anim2i 567	. . . . . 6 |- ( ( V =/= W /\ M e. LMod ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
18	17	ancoms 451	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
19	18	3ad2ant1 1015	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) )
20		lincvalpr.f	. . . . 5 |- F = { <. V , X >. , <. W , Y >. }
21	20	mapprop 33174	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( W e. B /\ Y e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) /\ ( V =/= W /\ ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
22	10, 14, 19, 21	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) )
23		lincvalsn.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
24	23	eleq2i 2474	. . . . . . 7 |- ( V e. B <-> V e. ( Base ` M ) )
25	24	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( V e. B -> V e. ( Base ` M ) )
26	25	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. ( Base ` M ) )
27	23	eleq2i 2474	. . . . . . 7 |- ( W e. B <-> W e. ( Base ` M ) )
28	27	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( W e. B -> W e. ( Base ` M ) )
29	28	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. ( Base ` M ) )
30		prelpwi 4626	. . . . 5 |- ( ( V e. ( Base ` M ) /\ W e. ( Base ` M ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
31	26, 29, 30	syl2an 475	. . . 4 |- ( ( ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
32	31	3adant1 1012	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> { V , W } e. ~P ( Base ` M ) )
33		lincval 33249	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { V , W } ) /\ { V , W } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
34	2, 22, 32, 33	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
35		lmodcmn 17694	. . . . 5 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
36	35	adantr 463	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> M e. CMnd )
37	36	3ad2ant1 1015	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. CMnd )
38		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) -> V =/= W )
39		simpl 455	. . . . 5 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> V e. B )
40		simpl 455	. . . . 5 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> W e. B )
41	38, 39, 40	3anim123i 1179	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) )
42		3anrot 976	. . . 4 |- ( ( V =/= W /\ V e. B /\ W e. B ) <-> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
43	41, 42	sylib 196	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) )
44	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
45	44	fveq1d 5793	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) )
46		simprl 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V e. B )
47		simprr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> X e. R )
48	38	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> V =/= W )
49		fvpr1g 6036	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. B /\ X e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
51	45, 50	eqtrd 2437	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
52	51	oveq1d 6233	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X ( .s ` M ) V ) )
53	1	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> M e. LMod )
54		eqid 2396	. . . . . . 7 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
55	23, 4, 54, 3	lmodvscl 17665	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. R /\ V e. B ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
56	53, 47, 46, 55	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( X ( .s ` M ) V ) e. B )
57	52, 56	eqeltrd 2484	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
58	57	3adant3 1014	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B )
59	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> F = { <. V , X >. , <. W , Y >. } )
60	59	fveq1d 5793	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) )
61		simprl 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
62		simprr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
63	38	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
64		fvpr2g 6037	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. B /\ Y e. R /\ V =/= W ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
66	60, 65	eqtrd 2437	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
67	66	oveq1d 6233	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y ( .s ` M ) W ) )
68	1	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> M e. LMod )
69	23, 4, 54, 3	lmodvscl 17665	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. R /\ W e. B ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
70	68, 62, 61, 69	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( Y ( .s ` M ) W ) e. B )
71	67, 70	eqeltrd 2484	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
72	71	3adant2 1013	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B )
73		lincvalpr.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` M )
74		fveq2 5791	. . . . 5 |- ( v = V -> ( F ` v ) = ( F ` V ) )
75		id 22	. . . . 5 |- ( v = V -> v = V )
76	74, 75	oveq12d 6236	. . . 4 |- ( v = V -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) )
77		fveq2 5791	. . . . 5 |- ( v = W -> ( F ` v ) = ( F ` W ) )
78		id 22	. . . . 5 |- ( v = W -> v = W )
79	77, 78	oveq12d 6236	. . . 4 |- ( v = W -> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) = ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) )
80	23, 73, 76, 79	gsumpr 33189	. . 3 |- ( ( M e. CMnd /\ ( V e. B /\ W e. B /\ V =/= W ) /\ ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) e. B /\ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) e. B ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
81	37, 43, 58, 72, 80	syl112anc 1230	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( M gsumg ( v e. { V , W } |-> ( ( F ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) = ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) )
82		lincvalsn.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .s ` M )
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> .x. = ( .s ` M ) )
84	83	eqcomd 2404	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( .s ` M ) = .x. )
85	20	fveq1i 5792	. . . . 5 |- ( F ` V ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V )
86	39	3ad2ant2 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V e. B )
87		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( V e. B /\ X e. R ) -> X e. R )
88	87	3ad2ant2 1016	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> X e. R )
89	38	3ad2ant1 1015	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V =/= W )
90	86, 88, 89, 49	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` V ) = X )
91	85, 90	syl5eq 2449	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` V ) = X )
92		eqidd 2397	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> V = V )
93	84, 91, 92	oveq123d 6239	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) = ( X .x. V ) )
94	20	fveq1i 5792	. . . . 5 |- ( F ` W ) = ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W )
95	40	3ad2ant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W e. B )
96		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( W e. B /\ Y e. R ) -> Y e. R )
97	96	3ad2ant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> Y e. R )
98	95, 97, 89, 64	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( { <. V , X >. , <. W , Y >. } ` W ) = Y )
99	94, 98	syl5eq 2449	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ` W ) = Y )
100		eqidd 2397	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> W = W )
101	84, 99, 100	oveq123d 6239	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) = ( Y .x. W ) )
102	93, 101	oveq12d 6236	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( ( ( F ` V ) ( .s ` M ) V ) .+ ( ( F ` W ) ( .s ` M ) W ) ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )
103	34, 81, 102	3eqtrd 2441	1 |- ( ( ( M e. LMod /\ V =/= W ) /\ ( V e. B /\ X e. R ) /\ ( W e. B /\ Y e. R ) ) -> ( F ( linC ` M ) { V , W } ) = ( ( X .x. V ) .+ ( Y .x. W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1836   =/= wne 2591   _Vcvv 3051   ~Pcpw 3944   {cpr 3963   <.cop 3967   |-> cmpt 4442   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   ^m cmap 7360   Basecbs 14657   +g cplusg 14725  Scalarcsca 14728   .scvsca 14729   gsum_g cgsu 14871  CMndccmn 16938   LModclmod 17648   linC clinc 33244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-oi 7872  df-card 8255  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-seq 12034  df-hash 12331  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-grp 16197  df-minusg 16198  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-abl 16941  df-mgp 17278  df-ur 17290  df-ring 17336  df-lmod 17650  df-linc 33246

This theorem is referenced by:  ldepspr  33313