Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincvalpr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lincvalpr 40264
 Description: The linear combination over an unordered pair. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincvalsn.b
lincvalsn.s Scalar
lincvalsn.r
lincvalsn.t
lincvalpr.p
lincvalpr.f
Assertion
Ref Expression
lincvalpr linC

Proof of Theorem lincvalpr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 459 . . . 4
3 lincvalsn.r . . . . . . . . 9
4 lincvalsn.s . . . . . . . . . 10 Scalar
54fveq2i 5868 . . . . . . . . 9 Scalar
63, 5eqtri 2473 . . . . . . . 8 Scalar
76eleq2i 2521 . . . . . . 7 Scalar
87biimpi 198 . . . . . 6 Scalar
98anim2i 573 . . . . 5 Scalar
1093ad2ant2 1030 . . . 4 Scalar
116eleq2i 2521 . . . . . . 7 Scalar
1211biimpi 198 . . . . . 6 Scalar
1312anim2i 573 . . . . 5 Scalar
14133ad2ant3 1031 . . . 4 Scalar
15 fvex 5875 . . . . . . . 8 Scalar
1615a1i 11 . . . . . . 7 Scalar
1716anim2i 573 . . . . . 6 Scalar
1817ancoms 455 . . . . 5 Scalar
19183ad2ant1 1029 . . . 4 Scalar
20 lincvalpr.f . . . . 5
2120mapprop 40180 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
2210, 14, 19, 21syl3anc 1268 . . 3 Scalar
23 lincvalsn.b . . . . . . . 8
2423eleq2i 2521 . . . . . . 7
2524biimpi 198 . . . . . 6
2625adantr 467 . . . . 5
2723eleq2i 2521 . . . . . . 7
2827biimpi 198 . . . . . 6
2928adantr 467 . . . . 5
30 prelpwi 4647 . . . . 5
3126, 29, 30syl2an 480 . . . 4
33 lincval 40255 . . 3 Scalar linC g
342, 22, 32, 33syl3anc 1268 . 2 linC g
35 lmodcmn 18136 . . . . 5 CMnd
3635adantr 467 . . . 4 CMnd
37363ad2ant1 1029 . . 3 CMnd
38 simpr 463 . . . . 5
39 simpl 459 . . . . 5
40 simpl 459 . . . . 5
4138, 39, 403anim123i 1193 . . . 4
42 3anrot 990 . . . 4
4341, 42sylib 200 . . 3
4420a1i 11 . . . . . . . 8
4544fveq1d 5867 . . . . . . 7
46 simprl 764 . . . . . . . 8
47 simprr 766 . . . . . . . 8
4838adantr 467 . . . . . . . 8
49 fvpr1g 6109 . . . . . . . 8
5046, 47, 48, 49syl3anc 1268 . . . . . . 7
5145, 50eqtrd 2485 . . . . . 6
5251oveq1d 6305 . . . . 5
531adantr 467 . . . . . 6
54 eqid 2451 . . . . . . 7
5523, 4, 54, 3lmodvscl 18108 . . . . . 6
5653, 47, 46, 55syl3anc 1268 . . . . 5
5752, 56eqeltrd 2529 . . . 4
5920a1i 11 . . . . . . . 8
6059fveq1d 5867 . . . . . . 7
61 simprl 764 . . . . . . . 8
62 simprr 766 . . . . . . . 8
6338adantr 467 . . . . . . . 8
64 fvpr2g 6110 . . . . . . . 8
6561, 62, 63, 64syl3anc 1268 . . . . . . 7
6660, 65eqtrd 2485 . . . . . 6
6766oveq1d 6305 . . . . 5
681adantr 467 . . . . . 6
6923, 4, 54, 3lmodvscl 18108 . . . . . 6
7068, 62, 61, 69syl3anc 1268 . . . . 5
7167, 70eqeltrd 2529 . . . 4
73 lincvalpr.p . . . 4
74 fveq2 5865 . . . . 5
75 id 22 . . . . 5
7674, 75oveq12d 6308 . . . 4
77 fveq2 5865 . . . . 5
78 id 22 . . . . 5
7977, 78oveq12d 6308 . . . 4
8023, 73, 76, 79gsumpr 40195 . . 3 CMnd g
8137, 43, 58, 72, 80syl112anc 1272 . 2 g
82 lincvalsn.t . . . . . 6
8382a1i 11 . . . . 5
8483eqcomd 2457 . . . 4
8520fveq1i 5866 . . . . 5
86393ad2ant2 1030 . . . . . 6
87 simpr 463 . . . . . . 7
88873ad2ant2 1030 . . . . . 6
89383ad2ant1 1029 . . . . . 6
9086, 88, 89, 49syl3anc 1268 . . . . 5
9185, 90syl5eq 2497 . . . 4
92 eqidd 2452 . . . 4
9384, 91, 92oveq123d 6311 . . 3
9420fveq1i 5866 . . . . 5
95403ad2ant3 1031 . . . . . 6
96 simpr 463 . . . . . . 7
97963ad2ant3 1031 . . . . . 6
9895, 97, 89, 64syl3anc 1268 . . . . 5
9994, 98syl5eq 2497 . . . 4
100 eqidd 2452 . . . 4
10184, 99, 100oveq123d 6311 . . 3
10293, 101oveq12d 6308 . 2
10334, 81, 1023eqtrd 2489 1 linC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887   wne 2622  cvv 3045  cpw 3951  cpr 3970  cop 3974   cmpt 4461  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cbs 15121   cplusg 15190  Scalarcsca 15193  cvsca 15194   g cgsu 15339  CMndccmn 17430  clmod 18091   linC clinc 40250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252 This theorem is referenced by:  ldepspr  40319
 Copyright terms: Public domain W3C validator