Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval1 Structured version   Unicode version

Theorem lincval1 32755
Description: The linear combination over a singleton mapping to 0. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincval1.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
lincval1.s  |-  S  =  (Scalar `  M )
lincval1.r  |-  R  =  ( Base `  S
)
lincval1.f  |-  F  =  { <. V ,  ( 0g `  S )
>. }
Assertion
Ref Expression
lincval1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B )  ->  ( F ( linC  `  M ) { V } )  =  ( 0g `  M ) )

Proof of Theorem lincval1
StepHypRef Expression
1 lincval1.s . . . . 5  |-  S  =  (Scalar `  M )
2 lincval1.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  S
)
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
41, 2, 3lmod0cl 17516 . . . 4  |-  ( M  e.  LMod  ->  ( 0g
`  S )  e.  R )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B )  ->  ( 0g `  S )  e.  R )
6 lincval1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  M
)
7 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  M )  =  ( .s `  M
)
8 lincval1.f . . . 4  |-  F  =  { <. V ,  ( 0g `  S )
>. }
96, 1, 2, 7, 8lincvalsn 32753 . . 3  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B  /\  ( 0g `  S )  e.  R )  ->  ( F ( linC  `  M ) { V } )  =  ( ( 0g
`  S ) ( .s `  M ) V ) )
105, 9mpd3an3 1326 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B )  ->  ( F ( linC  `  M ) { V } )  =  ( ( 0g
`  S ) ( .s `  M ) V ) )
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
126, 1, 7, 3, 11lmod0vs 17523 . 2  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B )  ->  (
( 0g `  S
) ( .s `  M ) V )  =  ( 0g `  M ) )
1310, 12eqtrd 2484 1  |-  ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  B )  ->  ( F ( linC  `  M ) { V } )  =  ( 0g `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {csn 4014   <.cop 4020   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613  Scalarcsca 14681   .scvsca 14682   0gc0g 14818   LModclmod 17490   linC clinc 32740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-grp 16035  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-ring 17178  df-lmod 17492  df-linc 32742
This theorem is referenced by:  lcosn0  32756
  Copyright terms: Public domain W3C validator