Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsumscmcl Structured version   Unicode version

Theorem lincsumscmcl 31119
Description: The sum of a linear combination and a multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincscmcl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincsumscmcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumscmcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumscmcl
StepHypRef Expression
1 lincscmcl.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  M )
2 lincscmcl.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
31, 2lincscmcl 31118 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )
433adant3r3 1199 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
5 simpr3 996 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  B  e.  ( M LinCo  V ) )
64, 5jca 532 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7 lincsumscmcl.b . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
87lincsumcl 31117 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C 
.x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
96, 8syldan 470 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ~Pcpw 3971   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   +g cplusg 14360  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   LModclmod 17074   LinCo clinco 31091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-lmod 17076  df-linc 31092  df-lco 31093
This theorem is referenced by:  lincolss  31120
  Copyright terms: Public domain W3C validator