Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsumscmcl Structured version   Unicode version

Theorem lincsumscmcl 38526
Description: The sum of a linear combination and a multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincscmcl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincsumscmcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumscmcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumscmcl
StepHypRef Expression
1 lincscmcl.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  M )
2 lincscmcl.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
31, 2lincscmcl 38525 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )
433adant3r3 1208 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
5 simpr3 1005 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  B  e.  ( M LinCo  V ) )
64, 5jca 530 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7 lincsumscmcl.b . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
87lincsumcl 38524 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C 
.x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
96, 8syldan 468 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ~Pcpw 3954   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   +g cplusg 14907  Scalarcsca 14910   .scvsca 14911   LModclmod 17830   LinCo clinco 38498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-lmod 17832  df-linc 38499  df-lco 38500
This theorem is referenced by:  lincolss  38527
  Copyright terms: Public domain W3C validator