Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincsumscmcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem lincsumscmcl 40279
Description: The sum of a linear combination and a multiplication of a linear combination with a scalar is a linear combination. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincscmcl.s  |-  .x.  =  ( .s `  M )
lincscmcl.r  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
lincsumscmcl.b  |-  .+  =  ( +g  `  M )
Assertion
Ref Expression
lincsumscmcl  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )

Proof of Theorem lincsumscmcl
StepHypRef Expression
1 lincscmcl.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  M )
2 lincscmcl.r . . . . 5  |-  R  =  ( Base `  (Scalar `  M ) )
31, 2lincscmcl 40278 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V ) )  -> 
( C  .x.  D
)  e.  ( M LinCo 
V ) )
433adant3r3 1219 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V ) )
5 simpr3 1016 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  B  e.  ( M LinCo  V ) )
64, 5jca 535 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )
7 lincsumscmcl.b . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  M )
87lincsumcl 40277 . 2  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( ( C 
.x.  D )  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
96, 8syldan 473 1  |-  ( ( ( M  e.  LMod  /\  V  e.  ~P ( Base `  M ) )  /\  ( C  e.  R  /\  D  e.  ( M LinCo  V )  /\  B  e.  ( M LinCo  V ) ) )  ->  ( ( C  .x.  D )  .+  B )  e.  ( M LinCo  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   ~Pcpw 3951   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194   LModclmod 18091   LinCo clinco 40251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-lmod 18093  df-linc 40252  df-lco 40253
This theorem is referenced by:  lincolss  40280
  Copyright terms: Public domain W3C validator